摘要： 根据高小学生的认知发展特点，在数学概念教学中应尝试概念同化方法。 在分析概念体系和学前基础后，我们利用新旧知识的联系来设计教学活动。 首先，引入基于生活经验的百分比概念，初步建立学习目标分析中新旧概念的联系； 其次，利用新旧知识和学生现有基础的关系，逐步形成百分比的概念； 第三，在不同梯度的练习中测试和巩固概念的获取； 最后，完善概念网络，理解数学思维。
关键词：小学数学； 概念同化； 教学分析
瑞士心理学家皮亚杰的认知发展阶段论指出，小学生主要处于第三阶段——具体运算阶段（7-11岁）。 这个阶段的孩子已经有了抽象的概念，能够进行初步的逻辑推理； 初中生学生主要处于第四阶段——形式运算阶段（11岁至15岁），形成解决各种问题的推理逻辑。 不管有没有具体的事物，他们都能理解形式中的相互关系和内涵。 [1] 小学五、六年级学生年龄在11、12岁左右，认知能力介于具体运算阶段和形式运算阶段之间。 教师应如何把握学生认知发展的转折点？ 尤其是数学概念的知识化教学是否仍然坚持由具体到抽象、逐步总结概念本质的一贯做法？ 或者，对于一些具体的数学概念，教师可以让学生尝试高阶思维——形式运算的学习方法，促进学生形式思维能力的发展，为中学学习做好准备。
设计以形式运算为主的教学活动，教师应如何分析概念的本质及其相关知识网络？ 如何分析学生对以往概念的现有基础和误解？ 根据上述分析，如何设计有效的教学活动，使学生能够轻松理解和掌握概念，同时获得形式思维训练？
掌握数学概念的本质是学生深入理解相似数量关系或空间形式的共同特征的心理过程。 [2]根据奥苏贝尔的同化理论，学习数学概念通常有两种方式：一是概念形成，即通过总结具体事物的共同属性形成概念，这是一个从“无”到“有”的过程。某事”的过程； 二是利用现有概念吸收新概念，将新概念纳入现有概念体系。 这是一个以“旧”引入“新”的过程。 概念同化是一种基于形式化运算的学习方法，是从“抽象”到“抽象”的推演。 概念的习得主要依靠学生对经验的概括和新旧知识的联系。 因此，这种学习方法需要基于对新知识与旧知识、新知识与现有认知结构之间关系的分析。
1.分析概念体系，把握新旧知识的关系——理解学科内容
(1)分析知识结构，确定概念教学方法
小学百分比的学习主要包括：意义、读写、分数与小数的换算、计算与应用。 在上述内容中，由于对百分比概念的理解影响对所表示的数量关系的分析，进而影响相关实际问题的解决，因此理解百分比概念的本质是学习百分比的关键。 从与百分比相关的知识结构来看，百分比属于“数与代数”领域的“数的理解与运算”，是在学生掌握分数的理解、比率的理解、分数运算。 关系如下图所示：
图1 百分比相关知识结构图
从百分比在知识结构中的地位可以看出：百分比是分数的从属概念，其关键属性及其所代表的数量关系与分数密切相关。 因此，百分比概念的习得可以依靠与分数概念的联系，即采用同化的方法来进行教学。
(2)分析概念形成与旧知识的关系，把握教学中的转移点
一个数学概念，包括：名称、特征、定义和例子。 对于百分比的概念，概念名称中的“百分比”和“分数”只有一字之差。 学生通过逻辑推理很容易判断出“百分比”是由“分数”推导出来的，两者之间有着密切的联系。 。 从概念特征来看，百分比和分数具有相同的分子和分母，但表现形式不同。 例如“90%”和“90/100”，两个数字中的“90”含义相同，它们都是分子，表示包含多少个相同的计数单位； 在分数中，分母100和分数线相加表示1/100；在百分比中，用百分号“%”表示1/100。 从概念定义上来说，小学阶段分数的定义是：将一个整体分成几个相等的部分，代表这样一个或几个部分的数称为分数。 分数的定义突出了与整数的对比，着眼于“平均分”。 百分比的定义是：比如14%、65.5%……这样表示一个数字占另一个数字的百分比的数字就称为百分比。 分数的定义对学生对百分比定义的概括具有一定的负迁移效应。 在概念说明方面，既有百分比的正例，也有百分比的反例，后者是区分分数和百分比的重要例子。 分析百分比概念与旧知识的关系，有助于教师把握教学中的转移点。
(3)分析概念本质与旧知识的关系，寻求突破重点、难点的教学策略。
2011年数学课程标准例25解释了对百分比概念的理解：百分比是具有相同分母（统一标准）的比率，便于比较。 因此，对百分比概念的理解需要从“表达一个数字对另一个数字的百分比”加深到“表达两个数字之间的倍数关系”。
百分比概念的本质是表达两个数字之间的倍数关系，也就是我们常说的“份比”。 它与我们过去学过的表达两个数之间的倍数关系的倍数、分数、比率不同。 区别在于标准数量。 定位不同。 例如：A是B的2倍，如果按标准量B为1份，则A为2份； A为B的2/3，若以标准量B为3份，则A为2份； A为B的50%是指以标准量B为100份，A为50份。 因此，在教学中，可以通过与时间、分数、比率的类比，加深对百分比概念的理解。
2.分析学前基础，了解新知识与现有认知结构的关系——了解学生
教师在选择高阶思维概念学习方法时，应考虑学生是否具备该方法的认知基础、能力基础和生活体验基础，以及这些基础对概念学习的积极和消极影响。 只有这样，我们才能做出正确的教学决策。
(1)分析学生的认知特征，确定同化学习的可行性
从认知特征来看，六年级学生的年龄约为12岁。 他们的认知发展处于具体运算阶段和形式运算阶段之间。 他们有抽象的概念，可以进行逻辑推理，但仍然离不开具体事物的支撑。 从认知发展的角度来看，学生在学习百分比时，在认知结构中积累了一定的抽象概念，如“分数”、“倍”、“比率”等，这些为理解百分比概念提供了前提条件； 认知能力数学本身的发展使得将百分比的关键特征与认知结构中的分数概念直接结合起来成为可能； 与数学相关的词汇和语法结构知识的发展使得通过使用单词准确地解释百分比的概念成为可能。 因此，在六年级数学概念教学中采用同化法是可行的。
（2）分析学生能力基础，厘清学生学习的成长点和误区
在学习百分比之前，学生已经完成了分数的抽象理解和实际应用，对单位“1”、分数概念和分数应用有了很好的理解。 这是学生理解百分比概念的基础。 然而，就百分比内涵的理解和定义而言，分数的原始定义存在正负迁移。 据学前调查显示：大约三分之一的学生可以利用分数的含义来理解百分比； 当单位“1”不明显时，学生理解百分比会比较困难； 当用词语概括百分比的含义时，26.3%的学生模仿分数的含义。 也就是说，10.5%的学生能够表达整体与部分之间的关系，而63.2%的学生根本不能表达。 因此，分数的定义与百分比的定义之间的异同，以及具体情况下百分比所代表的单位“1”，将成为学生学习的困惑点，也是本课教学的难点。
(3)分析学生的生活经历，把握生活应用与数学知识的联系
百分比产生于生产、生活的需要，随处可见。 学生在生活中接触到的百分比通常有：食物和衣服中各种成分的含量、软件下载的进度、游戏中的能量值等。丰富的生活情境为学生理解百分比提供了大量的素材。
3、以概念同化为线索，利用新旧知识的联系来设计教学活动
在分析教学内容和学生理解的基础上，通过概念导入-习得-强化-提高四个环节，连接新旧知识，设计不同的教学活动。
(1)引入基于生活经验的百分比概念，在学习目标分析中初步建立新旧概念的联系。
概念同化的基础是与原概念的联系。 由于老师在课前要求学生收集周围的百分比，他们初步体验到了百分比在生活中的广泛应用。 教学时，教师可以直接引入百分比的名称。 概念同化的教学主要采用研究性学习方法。 首先要激发学生对研究内容的思考，引导学生发现所学的相关概念，为概念同化做好准备。 介绍完概念名称后，提出问题“关于百分比，你想了解什么？” 引导学生思考百分比的概念。 学习目标：结构、阅读、写作、意义……根据概念名称和分数的相似性，学生自然会建立百分比。 与分数的初步联系。
（2）利用新旧知识的关系和学生已有的基础，逐步形成百分比的概念。
1、迁移旧知识，理解概念的外在属性。
学生在百分比的结构、阅读和写作方面有良好的经验基础。 因此，比较百分比和分数的结构、阅读和书写，在新旧概念分析的基础上了解相关属性。 例如：关于百分号，学生在上学前就已经能读写百分号，但对百分号的本质含义理解还不够清晰。 通过新旧知识的比较，引导学生将分母的意义转移到百分号上，理解“百分号代表百，是百分比的计数单位”。
2. 复习分数的含义并构建概念理解的支架。
百分比是分数的从属概念，其含义包含在分数的含义中，是分数的特殊形式。 回顾分数的含义，不仅可以加深对分数的理解，还可以为探索百分比的含义搭建一个“支架”。 概念同化的关键在于新旧概念意义层次的衔接。 利用分数和百分比之间的概念关系，让学生在概念同化的过程中探索百分比的含义。
3、由具体到抽象，逐步完善百分比的定义。
对于小学生来说，定义的概括不适合纯粹的形式化运算，需要由具体到一般、由具体到抽象逐步完成。 在这个环节中，学生利用课前找到的感性材料来理解具体百分比的含义，并谈论百分比所包含的数学信息。 由于学前班学生接触到的百分比主要代表的是整体与部分的关系，为了突破思维定势，教师应该在教学中加入代表两种不同数量关系的百分比。 通过丰富的感性材料，凸显了百分比的关键属性——表达两个数字之间的倍数关系。 由于学生抽象能力和语言能力不足，泛化百分比的定义成为教学难点。 为了突破困难，可以采用“小组交流→师生交流”的方法，引导学生通过分数定义的分析，逐步总结百分比的定义。
4、类比旧知识，理解概念的本质属性。
要从定义中理解百分比的本质，需要将所学的“倍”、“分数”、“比率”等知识联系起来。 如何沟通新旧知识之间的差异和联系？ 在这个环节中，我们首先引导学生理解定义中的文字信息，并启发学生思考：百分比的定义中包含了多少个数字？ 这两个数字之间有什么关系？ 举具体例子，例如：A是B的200%，可以类比为A是B的2倍、A是B的200/100、A:B=2:1等，从而引导学生发现知识之间的关系。 连接：与整数、分数和比率一样，百分比可以用来表示两个数字之间的倍数关系，因此百分比也称为百分比或百分比。
(3) 通过不同梯度的练习来检测和巩固概念的获取
1、通过数字与形状结合的直观例子，巩固概念内涵，突出概念特征。
用直观的图形补充抽象的数学概念，可以帮助学生直观地理解概念，突出概念特征。 例如，教材第86页的第3题（如下图）不仅考验学生对百分比含义的理解，突出了百分比的分数单位，还为学生提供了“做数学”的机会。 因此，教师在处理这个问题时，应引导学生思考：图中一共有多少个小方块？ 每个小方块代表多少？ 同时进一步引导学生发现：不同的图案，只要彩色小方块的数量相同，就代表相同的百分比。 理解数字的抽象性和普遍性。
图2 人民教育出版社六年级教材第一册第86页第3题
2、以不同方式表达的感性材料，丰富概念的外延，强化概念的本质。
百分比的含义是解决问题时分析数量关系的关键。 由于生活情况的多样性，数学问题的表述方法有很多种。 由于阅读能力和生活经验不足，小学生对生活情境中数量关系的分析能力还存在不足。 教学时，教师应为学生提供不同表达方式的百分比实例，引导学生分析不同表达方式的百分比所代表的数量关系，提高学生解决实际问题的能力。 例如，教材第86页第2题，写出划线部分的百分比后，要求学生找出百分比所代表的数量关系，识别单位“1”，巩固概念本质。
(1) 世界总人口的近50%年龄在25岁以下。
(2) 29%的孩子说他们“目前最好的朋友”是他们的老师。
(3)大约90%的感冒是由病毒引起的，大约10%是由细菌引起的。
3.通过正反例的分析，深化原有概念，发展新概念。
在概念同化法教学中，正确区分原有概念和新概念，是教学的重点和难点。 如果直接问学生“百分比和分数在意义上有何异同？” 问题会比较抽象，学生思考会比较困难。 因此，教师需要设计一组比较题，以具体情况作为思考的支架，让学生首先判断下列哪些分数可以改写为百分比？ 什么不能做？ 并说说原因，并在此基础上总结百分比和分数在含义上的异同。 在教学过程中，我们设计了以下练习：
下列哪些分数可以用百分比表示？ 哪些不能？ 为什么？
（1）一堆煤97/100吨，75/100被运走。
(2)23/100米相当于46/100米的50/100。
百分比和分数在含义上有何异同？
(4)完善概念网络，理解数学思维
将新概念纳入原有概念体系，需要整合相关概念，形成一个整体，完善认知结构。
了解了百分比的概念后，学生不难发现，分数可以表达具体的数量以及两个数字之间的倍数关系，而百分比只能表达两个数字之间的倍数关系。 与此同时，疑问也随之而来：既然有分数，为什么还需要百分比呢？ 生活中的许多地方都使用百分比而不是分数。 百分比有什么好处？ 在数学学习与生活体验的冲突中，学生发现：百分比的分母都是100，很容易比较； 使用百分号表示分母，清晰简洁，更容易输入和组织信息； 百分比的分子可以是整数或小数。 表达方式更加灵活。
同化法是我们获取概念的数学思维方式。 它不仅应该是学习的手段，而且应该是学习的结果之一。 以概念同化法为线索，教学过程中生成的板书直观地呈现新旧概念的关系，凸显百分比的价值。 利用板书引导学生回顾学习过程，了解获取新知识的策略，将隐性思维方式显性化。 这不仅加强了他们对知识的理解，也进一步加深了他们对数学学习思维方式的理解。
图3“认识百分比”黑板设计
在小学高年级数学概念的教学中，对于具体的内容，我们尝试采用基于形式化运算的概念同化方法，让我们更加注重教学内容的整体思维、知识的系统性。 、培养学生的数学思维方法，为学生创造创新思想。 一种现实性、探索性的数学活动，在掌握数学知识和技能的同时培养抽象思维和推理能力，帮助学生发展认知发展。
参考：
[1] 皮连胜. 学与教心理学[M]． 上海：华东师范大学出版社，2010：33。
[2] 李光树. 小学数学教学论[M]． 北京：人民教育出版社，2005：149。
[3] 孔凡哲，曾铮． 数学学习心理学[M]． 北京：北京大学出版社，2012。
[4]李世奇，吴迎康。 数学教学心理学[M]． 上海：华东师范大学出版社，2011。
[5]曹才涵，张建岳。 数学教育心理学(第二版)[M]． 北京：北京师范大学出版社，2006。
[6]朱杰芬. 小学数学概念有效同化教学策略[J]. 上海教育研究，2008（11）：94-95。
本文发表于《课程教学研究》2016年第2期，全文转载于人民大学影印报《小学数学教与学》2016年第6期。
标签： 数学
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