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引言
与连续时间傅里叶变换一样，离散时间傅里叶变换的各种性质也提供了对变换本质的进一步了解，同时还可以简化计算。连续时间和离散时傅里叶变换性质之间有相似之处，但也存在一些重要的差别。若某一性质的推导及陈述基本上与连续时间情况下的一样，则从简。
在以下的讨论中，采用如下符号来表明一个信号及其傅里叶变换的一对关系：\begin{align*} X(e^{j\omega}) &= \mathcal{F} \left\{ x[n] \right\} \\ x[n] &= \mathcal{F}^{-1} \left\{ X(e^{j\omega}) \right\}\\ x[n]& \stackrel{{\mathcal{F}} }{\longleftrightarrow} X(e^{j\omega}) \end{align*} \\
5.3.1 离散时间傅里叶变换的周期性
作者把这个性质放在首位，主要目的是为了强调连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换周期性的差别，其根本原因是基本信号 e^{j\omega t} 和 e^{j\omega n} 关于 \omega 周期性的差异，对于 e^{j\omega t} 而言，当 \omega 增大时，e^{j\omega t}振荡得越来越快，即不同的 \omega ，e^{j\omega t} 的波形不一样，但对于 e^{j\omega n} 而言，总有 e^{j(\omega+2\pi) n}= e^{j\omega n}。不厌其烦地强调这一点，是为了说明问题的根源与本质，而不要去死记硬背“时域连续，频域非周期；时域离散，频域周期”。\boxed{ X\left(e^{j(\omega+2\pi)}\right)=X(e^{j\omega}) \\\tag{1} }
5.3.2 线性性质
x_1[n] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X_1(e^{j\omega}) \qquad x_2[n] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X_2(e^{j\omega}) \\ \boxed{ ax_1[n] + bx_2[n] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} aX_1(e^{j\omega}) + bX_2(e^{j\omega}) \tag{2} } \\
5.3.3 时移与频移性质
\boxed{ x[n-n_0] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} e^{-j\omega n_0}X(e^{j\omega}) \\\tag{3} } \boxed{ e^{j\omega_0 n}x[n] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(e^{j(\omega -\omega_0)})\\\tag{4} }
性质的证明比较简单。信号时移是一种常见现象，时移性质为描述、理解该现象提供另一种方式；频移是一种重要的通信和信号处理技术，而频移性质为该技术提供了一种重要的实现方式。
傅里叶变换的某些性质可以给我们许多启示，时移性质就是其中一条，不妨稍作扩展解读。人类的认知过程或规律大致是从现象 \to 形象 \to 抽象。信号时延（延迟）的现象很容易观察到，比如在山谷或山洞里大喊一声，不久后就可以听到回声，这就是信号经过一段时间后到达我们的耳朵。这一现象用图形来形象地表示，如图1所示，其中 x(t) 表示大喊一声产生的信号， y(t) 表示听到的回声，即时移后的信号（这里忽略信号幅度的变化）。
图1：信号时移的形象表示
如果图1中的 x(t) 经过 \color{red} {t_d} 秒后被听到，那么 y(t) 和 x(t) 之间是什么关系呢？从图形上来看， x(0) 应该对应 y(0+\color{red}{t_d}) ，如图2所示：
图2：信号时移的对应关系
同理， x(1) 应该对应 y(1+\color{red}{t_d}) ，...，x(t) 应该对应 y(t+\color{red}{t_d}) ，即有
y(t+\color{red}{t_d}) = x(t) \\\tag{5}式（5）的一种等效写法是
y(t) = x(t -\color{red}{t_d}) \\\tag{6}这就是连续时间信号时移的抽象模型描述。
图3：信号时移的形象与抽象表示
对应的离散时间信号时移可表示为
y[n]=x[n-n_0] \\\tag{7}式（6）和式（7）是特别简单的方程式，从方程很容易解读出所描述系统的功能或特性，为了尽可能全方位掌握系统特性，我们需要寻找一个能够有效定义或描述系统性质的量。由于信号与系统课程主要研究线性时不变系统，因此首先要问的是，对于线性时不变系统，有哪些重要性质是值得关注的呢？请回顾信号与系统漫谈第12讲：线性时不变（LTI）系统的性质，用系统的单位脉冲响应 h(t) 和 h[n] 来表征线性时不变系统的记忆性、可逆性、因果性和稳定性时意义清晰、直观，不妨回顾信号与系统漫谈第12讲：线性时不变（LTI）系统的性质小结部分的表1。
对于式（6）和式（7）描述的系统，单位脉冲响应很容易求得，分别为
h(t)= \delta(t-t_d) \\\tag{8}和
h[n]=\delta[n-n_0] \\\tag{9}
通常而言，实际系统都会导致信号时移，因此定性、定量描述系统的时移特性就特别重要。对于式（6）和式（7）这么简单的方程，系统的时移特性通过对应的单位脉冲响应式（8）和式（9）当然很容易看出来。但如果对于由高阶线性常系数微分方程和高阶线性常系数差分方程描述的线性时不变系统，想通过单位脉冲响应 h(t) 和 h[n] 来判断系统的时移特性就没那么简单了，相较而言，系统的频率响应 H(j\omega) 和 H(e^{j\omega}) 却可以很直观地描述系统对输入信号产生的时移作用。比如式（3）所描述的傅里叶变换时移性质可用系统框图表示，如图4所示。
图4：时移系统的框图表示
利用信号与系统漫谈第22讲：由线性常系数微分（差分）方程描述的滤波器的知识，或根据图4下半部分，很容易求得式（7）所描述的时移系统的频率响应为
H(e^{j\omega}) =\dfrac{e^{-j\omega n_0}X(e^{j\omega})}{X(e^{j\omega})} = e^{-j\omega n_0} \\\tag{10}乍一看，频率响应 H(e^{j\omega})=e^{-j\omega n_0} 怎么就能直观地描述系统对输入信号产生的时移作用呢？对输入信号的时移作用都包含在频率响应的相频特性中，式（10）的相频特性或相角为
\angle H(e^{j\omega})=-\omega n_0 \\\tag{11}由式（11）似乎依然没办法直观地看出系统对输入信号的时移作用，如果我们引入另一个量——群时延
{\rm {grd}} \{ H(e^{j\omega})\} = -\dfrac{d \angle H(e^{j\omega})}{d \omega} \\\tag{12}将式（11）代入式（12）可计算出时移系统的群时延为
{\rm {grd}} \{ H(e^{j\omega})\} = n_0\\\tag{13}“群时延”，顾名思义，其结果就是时延的量，比较式（13）和式（9），用群时延来描述系统对输入信号的时移量是不是更简单、直观呢？简单粗暴地理解傅里叶变换时移性质式（3），那就是：将输入信号的傅里叶变换 X(e^{j\omega}) 乘以 e^{-j\omega n_0} 就可以实现时移的效果，其实就是改变了 X(e^{j\omega}) 的相位。通过控制相位来改变信号的时移，这是相控阵雷达波束形成的基本原理，如图5所示（参考：Optimum Array Processing_ Part IV of Detection, Estimation, and Modulation Theory ），相控阵雷达也由此得名。
图5：窄带波束形成器
相控阵雷达利用相移器，控制各路信号的时移，从而实现波束形成，指向不同的方向，如图6所示。
图6：相控阵波束形成
当看完信号与系统漫谈第12讲：线性时不变（LTI）系统的性质时，觉得用单位脉冲响应 h(t) 和 h[n] 来表征线性时不变系统性质已经足够简单、直观了。确实，通过系统的输入、输出关系来描述和定义系统特性，是一种直观而有效的思路和方法，而单位脉冲响应描述了一种特殊的输入-输出关系：系统的输入为单位脉冲 \delta(t) 和 \delta[n] 时，系统的输出就称为单位脉冲响应。从利用输入-输出关系来分析系统特性而言，单位脉冲响应已经足够具有代表性了，为什么还有那么多教材要大篇幅地介绍线性常系数微分方程、线性常系数差分方程对于各种不同输入，在各种不同初始条件下各种响应（零输入响应、零状态响应、自然响应、强迫响应、暂态响应、稳定响应）的求解方法呢？其实，线性常系数微分方程、线性常系数差分方程所描述的线性时不变系统，其特性完全由方程的形式决定，跟输入信号的具体形式无关，事实上，跟输入信号是否存在都没有关系，例如，一个信号放大器，不管是否施加输入信号，其放大特性都不变。用什么量、什么样的方法来描述系统特性，可以不考虑系统输入信号的具体形式呢？其实，早在信号与系统漫谈第22讲：由线性常系数微分（差分）方程描述的滤波器这一讲，在那里，从滤波的角度引入了频率响应的概念，特别地，从小结部分可以看出，根据线性常系数微分方程和线性常系数差分方程，可以直接写出系统的频率响应 H(j\omega) 和 H(e^{j\omega}) ，而不必关心输入 x(t) 和 x[n] 的具体形式。系统对输入信号的滤波作用完全由频率响应 H(j\omega) 和 H(e^{j\omega}) 决定，主要体现在改变输入信号的幅度和导致信号的时移，前者由频率响应的幅频特性决定，后者由频率响应的相频特性决定，关于频率响应的进一步讨论，将在后续讲给出。
作为离散时间傅里叶变换周期性和频移性质的一个结果，在理想低通和理想高通离散时间滤波器之间存在的一种特别关系。
图7：(a)理想低通滤波器；(b)理想高通滤波器
图7(a)示出一个截止频率为 \omega_c 的低通滤波器的频率响应 H_{\rm lp}(e^{j\omega}) ，而图7(b) 则是将 H_{\rm lp}(e^{j\omega}) 频移半个周期(即 \pi ，再次一表明离散时间傅里叶变换的 2\pi 周期性！)后的H_{\rm lp}(e^{j(\omega - \pi)})。因为在离散时间情况下，高频集中在 \pi （或 \pi 的奇数倍）附近（这是一个很重要的特性！），所以图7(b)所示特性就是一个截止频率为 \pi-\omega_c 的理想高通滤波器，即
H_{\rm hp}(e^{j\omega })=H_{\rm lp}(e^{j(\omega - \pi)}) \\\tag{14}根据傅里叶变换的频移性质，可得理想低通滤波器的单位脉冲响应 h_{\rm lp} [n] 和理想高通滤波器的单位脉冲响应 h_{\rm hp} [n] 的关系为 h_{\rm hp} [n] =e^{j\pi n} h_{\rm hp} [n]=(-1)^n h_{\rm lp} [n] \\\tag{15} 式（15）表明，将一个低通滤波器变成高通滤波器是相当容易的一件事——每隔一个样点，改变单位脉冲响应 h_{\rm lp}[n] 的符号即可，这正是信号与系统漫谈第33讲：离散时间傅里叶变换（DTFT）图7所表达的意思。
5.3.4 共轭与共轭对称性
若 x[n] \stackrel{{\mathcal{F}} }{\longleftrightarrow} X(e^{j\omega}) \\ 则
\boxed{ x^*[n] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X^*(e^{-j\omega})\tag{16} } \\ 若 x[n] 是实值序列，那么其变换是共轭对称的，即
\boxed{ X(e^{j\omega}) = X^*(e^{-j\omega})\tag{17} } \\
另外，若 x[n] 为实信号， \mathcal {Re} \{ X(e^{j\omega})\} 是 \omega 的偶函数，\mathcal {Im} \{ X(e^{j\omega})\} 是 \omega 的奇函数；同理， X(e^{j\omega}) 的模是 \omega 的偶函数，相角是 \omega 的奇函数，即
实信号傅里叶变换的实部具有偶对称： \mathcal{Re}\left\{X(e^{j\omega})\right\} = \mathcal{Re} \{X(e^{-j\omega})\} 实信号傅里叶变换的虚部具有奇对称： \mathcal{Im}\left\{X(e^{j\omega})\right\} = -\mathcal{Im} \{X(e^{-j\omega})\} 实信号傅里叶变换的模具有偶对称： \lvert X(e^{j\omega}) \rvert = \lvert X(e^{-j\omega}) \rvert 实信号傅里叶变换的相位具有奇对称： \angle X(e^{j\omega}) = -\angle X(e^{-j\omega})
进一步还可以证明，若 x[n] 为实信号，有
\mathcal{Ev} \{x[n]\} \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \mathcal{Re} \{X(e^{j\omega})\} \\\tag{18} 和
\mathcal{Od} \{x[n]\} \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}j \mathcal{Im} \{X(e^{j\omega})\} \\\tag{19}其中， \mathcal{Ev} 和 \mathcal{Od} 分别表示 x[n] 的偶部分和奇部分。
性质的证明可参考信号与系统漫谈第27讲：连续时间傅里叶变换性质视频4。
实信号傅里叶变换的对称性表明，在画实信号傅里叶变换的频谱图时，只需要画一半，即 \omega \ge0 对应的图即可，这样的图称为单边谱。
式（18）和式（19）所描述的性质似乎意义不太明显。基于时频对偶性原则，我们可以猜想一下，对于一个复数序列 x[n] ，它的实部 \mathcal{Re}\{x[n] \} 的傅里叶变换是什么，它的虚部 \mathcal{Im}\{x[n] \} 的傅里叶变换又是什么呢？因为
\mathcal{Re}\{x[n] \} = \dfrac{x[n]+x^*[n]}{2} \\\tag{20}和
\mathcal{Im}\{x[n] \} = \dfrac{x[n]-x^*[n]}{2j} \\\tag{21}根据傅里叶变换的线性和共轭性质可得
\mathcal{F}\{\mathcal{Re}\{x[n] \}\} = \dfrac{X(e^{j\omega})+X^*(e^{-j\omega})}{2} \\\tag{22}和
\mathcal{F}\{\mathcal{Im}\{x[n] \}\} = \dfrac{X(e^{j\omega})-X^*(e^{-j\omega})}{2j} \\\tag{23}式（22）和式（23）表明，如果序列 x[n] 的傅里叶变换为 X(e^{j\omega}) ，则根据式（22）可直接计算出 x[n] 实部的傅里叶变换，根据式（23）可直接计算出 x[n] 虚部的傅里叶变换，而无需代入傅里叶变换分析式另行计算。这个性质有什么价值呢？在实际工种中，单路信号通常为实信号，现假设有两路实信号 x_1 [n] 和 x_2[n] ，需要计算这两路信号的离散时间傅里叶变换 X_1(e^{j\omega}) 和 X_2(e^{j\omega}) ，常规做法当然是利用傅里叶变换分析式，分别计算 X_1(e^{j\omega}) 和 X_2(e^{j\omega}) ，但有另一种巧妙的做法，那就是将两路实信号构成一路复信号，如 x[n]=x_1[n]+jx_2[n] ，利用傅里叶变换分析式计算序列 x[n] 的傅里叶变换为 X(e^{j\omega}) ，然后利用式（22）和式（23）分别得到 x_1 [n] 和 x_2[n] 的离散时间傅里叶变换 X_1(e^{j\omega}) 和 X_2(e^{j\omega}) 。这种技巧在实际信号处理中经常用到，通常可以大大节省运算量。
5.3.5 差分与累加
离散时间情况下的累加对应于连续时间情况下的积分。现在来讨论离散时间序列的累加及其逆运算，即一次差分的傅里叶变换。设 x[n] 的傅里叶变换为 X(e^{j\omega}) ，那么根据线性和时移性质，一次差分信号 x[n] -x[n-1] 的傅里叶变换对就是
\boxed{x[n] -x[n-1] \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} (1-e^{-j\omega})X(e^{j\omega})\\\tag{24} }
而对于累加器
y[n] = \sum_{m=-\infty}^{n}x[m] \\\tag{25}因为 y[n]-y[n-1]=x[n] ， 似乎可能得出 y[n] 的变换应为 x[n] 的变换被 (1-e^{j\omega}) 所除！但是，这只是对了一部分，与连续时间傅里叶变换积分性质一样，除此以外，还会涉及到更多的项，其精确的关系是
\boxed{ \sum_{m=-\infty}^{n}x[m]\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\dfrac{1}{1-e^{-j\omega}}X(e^{j\omega})+\pi X(e^{j0})\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega -2\pi k) \\\tag{26} }
小结
本讲介绍了离散时间傅里叶变换的5个性质：
周期性线性时移和频移性共轭与共轭对称性差分和累加
重点是要掌握每个性质背后的意义与作用，通常是两方面，一是可以更透彻地理解傅里叶变换的本质，二是可以简化计算。
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