（知识点）化学实验基本操作：菜鸡

写在前面：因为我比较菜鸡，解析可能会有bug，不能当作答案使用，仅供参考。

NOTICE: Caiji am I, the answers are probably wrong, only for reference.

由于文章过长后更新会变得卡顿，故分多个文章页更新。

填空选择部分题目见：

后文见：

静电场公式总结见：

计算题：

11.3.30：如作业图 11.3.30 所示，一空间平行板电容器， 2 个极板面积均为 S ，板间距离为 d （ d 远小于极板线度），在 2 个极板间平行的插入一面积也是 S ，厚度为 l （ l ）的金属片，试求平行板电容器的电容 C 。

解析：法一：

计算法

可将带电平板看作无限大带电平板，无限大带电平板的电场强度 E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0} ，

电势 U=\int_{0}^{d}\frac{\sigma}{\varepsilon_0}dl=\frac{\sigma d}{\varepsilon_0} ，

对于宽度为 l 的金属板而言金属内部等势，

于是 U=\frac{\sigma d_1}{\varepsilon_0}+\frac{\sigma d_2}{\varepsilon_0}=\frac{\sigma (d_1+d_2)}{\varepsilon_0}=\frac{\sigma (d-l)}{\varepsilon_0}=\frac{Q (d-l)}{\varepsilon_0S}

于是 C=\frac{Q}{U}=\frac{\varepsilon_0S}{d-l}

法二：

结论法

因为平行板电容器的电容 C=\frac{\varepsilon_0S}{d} ，而插入有厚度金属块以后相当于减小了 d ，因为在金属内部处处等势，电势没有下降，故而 C=\frac{\varepsilon_0S}{d-l}

法三：

电容串并联

此题可看成两个电容串联，

C_1=\frac{\varepsilon_0S}{d_1} ， C_2=\frac{\varepsilon_0S}{d_2}

于是： C=\frac{C_1 C_2}{C_1+C_2}=\frac{\frac{\varepsilon_0S}{d_1}\frac{\varepsilon_0S}{d_2}}{\frac{\varepsilon_0S}{d_1}+\frac{\varepsilon_0S}{d_2}}=\frac{\varepsilon_0S}{d_1+d_2}=\frac{\varepsilon_0S}{d-l}

注意： d_1+d_2=d-l

11.3.29：如作业图 11.3.29 所示， 一平行板电容器中，充以两种均匀电介质，其相对介电 常数分别为 \varepsilon_{r_1} 和 \varepsilon_{r_2} ，厚度分别为d_1和 d_2 ，板极面积为 S ，两板间电压为 U ，求：（1）电容器的电容；（2）两电介质中的电场能量体密度。

解析：和上一题一样，两个电容器串联

C_1=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r_1}S}{d_1} ， C_2=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r_2}S}{d_2}

于是： C=\frac{C_1 C_2}{C_1+C_2}=\frac{\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r_1}S}{d_1}\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r_2}S}{d_2}}{\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r_1}S}{d_1}+\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r_2}S}{d_2}}=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r_1}\varepsilon_{r_2}S}{\varepsilon_{r_1}d_2+\varepsilon_{r_2}d_1}

能量密度暂时先略

11.3.28：两个同心金属球壳，内球壳半径为 R ，外球壳半径为 2R ，中间是空气，构成一 个球形空气电容器。设内外球壳上分别带有电荷 +Q和 −Q ，

求： （1）电容器的电容 C ; （2）电容器储存的能量 W_e

解析：（1）内外球壳内的电场强度 E=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0r^2},\quad R

使用高斯定理求电场强度

U=\int_{R}^{2R}\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0r^2}dr=\frac{Q}{8\pi \varepsilon_0R}

C=\frac{Q}{U}=8\pi \varepsilon_0R

电容器储存的能量暂略。

11.3.27：如作业图 11.3.27 所示，同轴电缆由半径为 R_1的导线和半径为 R_3的导体圆筒构 成，在内外导体间用电容率分别为\varepsilon_1、\varepsilon_2和 的两层电介质隔离，分界面的半径为 R_2 。若使两层介质中最大电场强度相等，其条件如何？并求此情况下电缆单位长度上的电容。

解：

电荷线密度为\lambda的无限长带电直线外的电场强度大小为 E=\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0r}

若 E_{2\max}=E_{3\max} ，则

\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_1R_1}=\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_2R_2} ，即

\varepsilon_1R_1=\varepsilon_2R_2

注意电场强度随 r 的变化的单调递减的

于是

\begin{aligned} &&& U=\int_{0}^{R_3}Edr\cr &&=&\int_{0}^{R_1}E_1dr+\int_{R_1}^{R_2}E_2dr+\int_{R_2}^{R_3}E_3dr\cr &&=&0+\int_{R_1}^{R_2}\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_1r}dr+\int_{R_2}^{R_3}\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_2r}dr\cr &&=&\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_1}\ln\frac{R_2}{R_1}+\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_2}\ln\frac{R_3}{R_2}\cr &&=&\frac{Q}{2\pi \varepsilon_1l}\ln\frac{R_2}{R_1}+\frac{Q}{2\pi \varepsilon_2l}\ln\frac{R_3}{R_2} \end{aligned}

于是单位长度电缆上电容为：

C=\frac{Q}{Ul}=\frac{Q}{[\frac{Q}{2\pi \varepsilon_1l}\ln\frac{R_2}{R_1}+\frac{Q}{2\pi \varepsilon_2l}\ln\frac{R_3}{R_2}]l}=\frac{2\pi}{\frac{1}{\varepsilon_1}\ln\frac{R_2}{R_1}+\frac{1}{\varepsilon_2}\ln\frac{R_3}{R_2}}

请大家注意题目要求单位长度电容，所以上式要除以 l

11.3.26. 如作业图 11.3.26 所示，球形电容器由半径为 R_1的导体球和与它同心的导体球壳构成，球壳内半径为 R_3。导体球与球壳之间充满两层相对介电常数分别为 \varepsilon_1 和\varepsilon_2的均匀电介质，分界面的半径为R_2，求该电容器的电容。

解析：我们不妨设该带电球体带电量为 Q

由高斯定理可以求得：

E=\begin{cases} 0,\quad r

于是：

\begin{aligned} &&& U=\int_{0}^{R_3}Edr\cr &&=&\int_{0}^{R_1}E_1dr+\int_{R_1}^{R_2}E_2dr+\int_{R_2}^{R_3}E_3dr\cr &&=&\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 \varepsilon_1}(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2})+\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 \varepsilon_1}(\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_3}) \end{aligned}

于是：

C=\frac{Q}{U}=\frac{1}{\frac{\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}}{4\pi\varepsilon_0 \varepsilon_1}+\frac{\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_3}}{4\pi\varepsilon_0 \varepsilon_1}}=\frac{4\pi\varepsilon_0 \varepsilon_1\varepsilon_2R_1R_2R_3}{R_3\varepsilon_2(R_2-R_1)+R_1\varepsilon_1(R_3-R_2)}

最后一步化简有一点点麻烦，大家慢慢化就行，小心谨慎也花不了多少时间。

11.3.25：一个半径为 R_1的金属球，带电荷量为 Q ，球外有一层同心球壳的均匀电介质，其内、外半径分别为 R_2、R_3 ，相对介电常数为 ε_r 。

求：（1）空间的电位移D和电场强度 E 的分布；（2）空间的电势分布；（3）介质内极化强度 P 和介质层内、外表面上的极化电荷面密度。

解析：（1）由高斯定理容易得出：

R_3 \end{cases}">\begin{cases} E_0=0,\quad D=0,\quad rR_3 \end{cases}

综上

（2）电势分布如下：

当 r 时， U_0=0

当 R_1 时，

U_1=\int_{r}^{R_2}E_1dr+\int_{R_2}^{R_3}E_2dr+\int_{R_3}^{+\infty}E_3dr=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}[\frac{\varepsilon_r}{r}+\frac{1-\varepsilon_r}{R_2}+\frac{1-\varepsilon_r}{R_3}]

当 R_2 时，

U_2=\int_{r}^{R_3}E_2dr+\int_{R_3}^{+\infty}E_3dr=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}[\frac{\varepsilon_r-1}{R_3}+\frac{1}{r}]

当 R_3 时，

U_3=\int_{R_3}^{+\infty}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R_3}

（3） P=\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)E=\frac{Q(\varepsilon_r-1)}{4\pi \varepsilon_rr^2}

因为内球带正电

故而外球壳内表面极化电荷面密度：

\sigma_{in}=-\frac{Q(\varepsilon_r-1)}{4\pi \varepsilon_rr^2}

\sigma_{out}=\frac{Q(\varepsilon_r-1)}{4\pi \varepsilon_rr^2}

11.3.23：如作业图 11.3.23 所示，金属球壳的内外半径分别为 R_1、R_2 ，在球壳内距球心为 r 处有一电荷量为 q 的点电荷。试（1）描述此时感应电荷的分布；（2）计算球心 O 处的电势； （3）若使球壳带电荷Q ，重复讨论（1）和（2）。

（1）

内表面：靠近 q 的地方感应出电荷密度更大的负电荷，远离 q 的地方感应出电荷密度小的负电荷，负电荷之和等于 -q

外表面：感应出 q 的电荷，均匀分布在导体球表面。

（2）取无穷远为电势零点

U=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r}-\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 R_1}+\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 R_2}

（3）

内表面：靠近 q 的地方感应出电荷密度更大的负电荷，远离 q 的地方感应出电荷密度小的负电荷，负电荷之和等于 -q

外表面：感应出 Q+q 的电荷，均匀分布在导体球表面。

U=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r}-\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 R_1}+\frac{Q+q}{4\pi \varepsilon_0 R_2}

请思考为什么外表面的感应电荷是均匀的而内表面是不均匀的。

11.3.22：如作业图 11.3.22 所示，三块平行金属板 A、B、C ，面积均为 200cm^2 。 A、B 间距为 4mm ， A、C 间距为 2mm 。 B 、C 两板都接地，A 板带正电荷 3\times 10^{-7}C ， （不计边缘效应）。

求:（1） B 、 C 板上的感应电荷的大小；（2） A板的电势。

解析：

（1）设 AC 板间距 d_1 ，设 AB 板间距 d_2

因为 C=\frac{\varepsilon_0S}{d} ， C=\frac{Q}{U} ，且 U_{AC}=U_{AB}

故而： \frac{q_1}{q_2}=\frac{d_2}{d_1} ，且 |q_1+q_2|=q

于是在 C 板右侧感应出 2\times 10^{-7}C 的负电荷

于是在 B 板左侧感应出 1\times 10^{-7}C 的负电荷

（2）因为 U_{AC}=U_A-U_C ，且 U_C=0V

故而 U_A=U_{AC}

因为 q_1d_1=q_2d_2 ，且 q_1+q_2=q

由 q_1d_1=q_2d_2 可知 q_2=\frac{q_1d_1}{d_2} ，代入q_1+q_2=q得到 q_1+\frac{q_1d_1}{d_2}=q ，解得 q_1=\frac{q}{1+\frac{d_1}{d_2}}

因为 U=Ed ， E=\frac{q}{\varepsilon_0S} 可得：

E_{AC}=\frac{q_1}{\varepsilon_0S}=\frac{\frac{q}{1+\frac{d_1}{d_2}}}{\varepsilon_0S}

U_{AC}=E_{AC}d_1=\frac{\frac{q}{1+\frac{d_1}{d_2}}}{\varepsilon_0S}d_1=2259V

11.3.21：半径为 R 的导体球外面同心地罩着一内外半径分别为 R_1和 R_2 的导体球壳。若球 和球壳分别带有电荷 q 和Q ，

试求：（1）球和球壳的电势以及它们的电势差；（2）若将球壳接地，求它们的电势差；（3）若用导线将球和球壳连接，其电势差又是多少？

解析：（1）整个球壳是个等势体，静电平衡后，球体外面面均匀的分布着 q 电量的电荷，球壳内表面感应出 q_1=-q 的电荷，球壳外表面感应出 Q+q 的电荷

于是带电球体的电势 U_1=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0R} ，带电球壳 U_2=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0R_1}

于是电势差 U=U_1-U_2=\frac{q(R_1-R)}{4\pi \varepsilon_0RR_1}

（2）外球壳接地以后电势差 U=U_1-U_2=\frac{q(R_1-R)}{4\pi \varepsilon_0RR_1}不变

下面证明为什么不变：

接地后带电球体的电势 U_1'=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}[\frac{1}{R}-\frac{1}{R_2}] ，带电球壳U_2'=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0}[\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}]

于是电势差U=U_1-U_2=\frac{q(R_1-R)}{4\pi \varepsilon_0RR_1}没变

（3）带电球体与球壳用导线连接以后整个成为等势体，电势差为 0

11.3.20：根据电场强度与电势的微分关系，求下列电场的电场强度：

（1）点电荷q 的电场；

（2）带电荷量为 q 、半径为R的均匀带电圆环轴线上的电场；

（3）电偶极子 p=ql 的电场（ r\ge l ） 。

解析：（1） E=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0r^2}\vec{e_r}

（2） E=\frac{qx}{4\pi \varepsilon_0(x^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}i

（3） E=\frac{p}{4\pi \varepsilon_0}\frac{(4x^2+y^2)^{\frac12}}{(x^2+y^2)^2}

第三问推导可以参考一下论文，建议大家多去知网搜搜相关论文，记结论就行

11.3.19：电荷量Q 均匀地分布在长为 2l 的细棒上。如作业图 11.3.19 所示，取细棒沿x轴方向， y 轴垂直于棒，坐标原点在棒的中心O 点。求坐标为 (l,y) 的一点P的电势，并利用电势梯度求P点处沿y方向的电场强度。

解析：细棒的电荷密度 \sigma=\frac{Q}{2l} ，于是电势 dU=\frac{dq}{4\pi \varepsilon_0\sqrt{(l-x)^2+y^2}}=\frac{\sigma dx}{4\pi \varepsilon_0\sqrt{(l-x)^2+y^2}}

于是

\begin{aligned} &&& U=\int dU \cr &&=&\int_{-l}^{l}\frac{\sigma dx}{4\pi \varepsilon_0\sqrt{(l-x)^2+y^2}} \cr &&=&\frac{\sigma}{4\pi \varepsilon_0l}\ln\frac{2l+\sqrt{4l^2+y^2}}{y} \end{aligned}

E_y=-\frac{\partial U}{\partial y}=\frac{\sigma 2l}{4\pi \varepsilon_0y\sqrt{4l^2+y^2}}=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0y\sqrt{4l^2+y^2}}

注意：长度为 2L 、线电荷密度为 \sigma 。在 (x,y) 的电场强度分布和电势分布：

电场强度： E=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}[\frac{1}{\sqrt{(x-L)^2+y^2}}-\frac{1}{\sqrt{(x+L)^2+y^2}}]\vec{i}+\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}[\frac{x+L}{y\sqrt{(x+L)^2+y^2}}-\frac{x-L}{y\sqrt{(x-L)^2+y^2}}]\vec{j}

电势分布： U=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\frac{x+L+\sqrt{(x+L)^2+y^2}}{x-L+\sqrt{(x-L)^2+y^2}}

那个积分很麻烦，需要多次换元，务必记住上面结论

11.3.18：如作业图 11.3.18 所示，一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为 ρ ，球壳内表面 半径为 R_1 ，外表面半径为 R_2 ，设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点 P 的电势。

解析：以 O 为圆心，半径为 R_2 建立高斯面，其中 R_2

由高斯定理： \oint EdS=\frac{q}{\varepsilon_0} ，因为在此高斯面内没有电荷，故而 q=0 ，故而 E=0 ，电场为 0 说明带电球壳内部处处等势，任意一点 P 的电势可用 O 点电势代替

再由高斯定理易知带电球壳产生的电势 U=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r}

球体体积计算公式为： V=\frac{4}{3}\pi r^3,\quad dV=4\pi r^2dr

于是 dq=\rho dV=4\rho\pi r^2

dU=\frac{dq}{4\pi \varepsilon_0r}=\frac{\rho rd r}{\varepsilon_0}

于是 U=\int_{R_1}^{R_2}\frac{\rho}{2\varepsilon_0}(R_2^2-R_1^2)

请思考为什么积分上下限是 [R_1,R_2] 而不是到正无穷

11.3.17：如作业图 11.3.17 所示，两个同心的带电球面， 半径为 R_1 和 R_2 ，分别均匀地带有电荷 q_1 和 q_2 。

求： （1）两球面间的电场强度分布 E(r) ； （2）两球面间的点势差。

解析：（1）在两球面之间建立高斯面，易得电场强度为：

E(r)=\frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0r^2},\quad r\in(R_1,R_2)

（2） U(r)=\int_{R_1}^{R_2}\frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0r^2}dr=\frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0}[\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}]

11.3.16. 如作业图 11.3.16 所示，无限长均匀带点直线的电荷线密度为 λ ，电势零点选在距离直线 r_0 的地点，求直线外任一点 P 处的电势。

解析：无限长带电细棒的电场强度大小为E=\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0y}

于是 U=\int_{r}^{r_0}\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0y}dy=\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\ln\frac{r_0}{r}

请思考为什么电势零点不选在无穷远处，能否选在无穷远处。

答案给的是 \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\ln\frac{r}{r_0} 我也不知道为啥，应该答案错了，这个我下来再想一想，按照电势的定义我的答案应该是对的，从该点到电势零点的积分

标签： 电场强度 电势 电荷密度 化学实验 lambda