2017年国家公务员考试行测：微分中值定理

微分中值定理是很重要的基础定理，很多定理都是以它为基础进行证明的。

1 罗尔中值定理

1.1 直觉

这是往返跑：

可以认为他从A 点出发，经过一段时间又回到了A 点，画成s-t （位移-时间）图就是：

根据常识，因为要回到起点，中间必定有速度为0的点：

拳击比赛中，步伐复杂：

但不论怎样，只要最后回到起点，中间必定有速度为0的点：

这就是罗尔中值定理。

1.2 罗尔中值定理

设函数满足以下三个条件：则存在\xi \in (a,b) ，使得f'(\xi)=0

f(x) 在闭区间[a,b] 连续是必须的，否则有可能没有f'(\xi)=0 ：

在开区间(a,b) 可导也是必须的：

1.3 拓展

可能有的同学觉得，定理中的条件“f(x) 在闭区间[a,b] 连续、在\color{ForestGreen}{开区间(a,b)} 可导”比较古怪，为什么不是“f(x) 在闭区间[a,b] 连续、在\color{Magenta}{闭区间[a,b]} 可导”？

大概有两个原因，首先，“开区间可导”条件更弱，包含了“闭区间可导”；其次，”开区间可导”的函数并不一定就“闭区间可导”，比如：

f(x)= \begin{cases}x(1-x)\sin\frac{1}{x(1-x)},x\in(0,1)\neq 0\\0, &x=0,1 \end{cases} \\

此函数在图像如下：

此函数就是在[0,1] 连续，(1,0) 可导，在端点x=0,1 处导数不存在（类似于x\sin\frac{1}{x}在0点处不可导，可自行证明）。

2 拉格朗日中值定理

来看下交通管理中的区间测速：

时间a 采集到汽车的位移为f(a) ，时间b 采集到汽车的位移为f(b)

可以据此算出平均速度为：

\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\\

比如算出来平均速度为70km/h ，平均速度是由瞬时速度叠加的结果，那么路程中的瞬时速度可能为：

下面是变速前进的速度变换动画（蓝色为大于，闪烁为平行即等于，绿色为小于）：

如果限速60km/h ，那么根据汽车的平均速度为70km/h ，就可以判定路程中必然至少有一个点超速。

约瑟夫·拉格朗日伯爵，法国籍意大利裔数学家和天文学家，以他命名的拉格朗日中值定理就可以在数学层面解释刚才的现象。

2.1 拉格朗日中值定理

设函数满足以下两个条件：则存在\xi\in (a,b) ，使得f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

这个定理的几何意义就是，至少存在一点的切线与端点的连线平行；物理意义是，至少存在一点的速度与平均速度相等：

把它旋转一下，使得f(a)=f(b) ：

得到的就是罗尔中值定理，可见罗尔是拉格朗日的特例：

3 柯西中值定理

3.1 二维空间中的运动

之前讨论的是一维空间中的运动，下面来看看二维空间中的运动（关于这点，可以参看课程中“参数方程求导与相关变化率”这一节）。假设参数方程：

\begin{cases}x=g(t)\\y=f(t) \end{cases} \\

描述了一个二维空间中的运动：

为了方便描述，令A=(g(a),f(a)) 、B=(g(b),f(b)) ，那么上图描述的就是a 时刻在A 位置，b 时刻运动到了B 位置。向量\boldsymbol{a} 就表明了最终的运动方向：

仔细分析此运动过程，刚开始的时候，速度\boldsymbol{v} 的方向与\boldsymbol{a} 相反，也就是说点是反着走的：

所以需要不断转弯调整：

最终才能到达目的地：

容易想象，在转弯调整的过程中，必然会有\boldsymbol{v} 和\boldsymbol{a} 同向的时刻，比如t=\xi 时刻：

那么两者所在直线必然也平行：

此时，\boldsymbol{a} 所在直线的斜率：

\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\\

以及\boldsymbol{v} 所在直线的斜率（根据参数方程的求导法则）：

\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\\

必然相等：

\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\\

这就是柯西中值定理。

3.2 定理

设函数f(x),g(x)满足以下条件：则存在\xi \in (a,b) ，使等式

\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\\

成立。

可以把f(x),g(x) 组合成参数方程：

\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t) \end{cases} \\

这样柯西中值定理就有类似于拉格朗日中值定理一样的几何意义：

如果：

\begin{cases}x=x\\y=f(x) \end{cases} \\

那么柯西中值定理就变为了拉格朗日中值定理，所以拉格朗日又是柯西的特例。

4 总结

三大微分中值定理的联系与区别：

本文为微分中值定理的节选，因为格式问题，还有一些证明、扩展没有贴上来，可以到原文去查看。

标签： 定理 区间 平均 平行 位移