启蒙数学文化翻译系列
《高视角的初等数学》（三册）
是一部具有世界影响力的数学教育经典。 本书是伟大的数学教育家、哥廷根数学学院院长菲利克斯·克莱因根据他在哥廷根大学为中学数学师生讲授的内容编写的。 书中充满了他对数学教育的真知灼见，生动地展现了一流大师的风范。 值得每一位数学教育者和数学研究者仔细阅读。
菲利克斯·克莱因
《高角度的初等数学》简介
吴大仁
F.克莱因（1849-1925）是一位影响深远的数学家。 他的贡献涵盖几何、代数、函数论、理论物理和数学史。 在这些领域，他都留下了经典作品。 他是德国权威《数学百科全书》的创始人之一，并担任德国最高级别《数学年鉴》的主编。 他为这两项事业奉献了四十年。 他热衷于数学教育及其改革。 他是国际数学教育促进委员会的创始人之一，并一直积极参与其活动。 他写过《高处看初等数学》等书（“初等数学”是指当时德国中小学数学，比我国中小学数学稍难）。 这本书的内容非常全面，讨论生动，不拘一格。 它巧妙地将严谨与直觉结合起来，深入浅出地解释深奥的事情，让读者感觉自己两件事都能轻松轻松地做到。
《高视角的初等数学》是F.克莱因的助手根据他在哥廷根大学的讲座编写的。 60年来，数学的面貌发生了很大变化，我国目前的数学教育也与德国有很大不同。 我们在读这本书的时候一定要注意这一点。 尽管如此，我们读完它的内容和观点仍然感到非常熟悉。 这是因为它的内容主要是基础数学，其思想蕴含着真理。 当时德国数学教育中的许多问题在今天的我国仍然存在。 克莱因声称，这本书是为中学教师和成熟的大学生而写的，但从其内容来看，任何对数学有一定了解的人都可以从中获得指导和启发。
数学科学的完整性与数学教育的连续性
《高处看初等数学》这本色彩缤纷的书的特点很难用一两句话来概括。 或许可以说，它所展现的数学科学是一个不断发展的有机整体； 克莱因设计的数学教育是一个持续的过程，随着数学的发展而不断更新。 正如《高视角的初等数学》书名所示，本书的重点是初等数学，但观点是高等数学。 数学的各个分支，特别是数学的两个基本对象——形状和数字，被结合在一起。 在教算术、代数和分析时，我们总是充分利用丰富的几何图像。 谈论几何时，要用到代数工具，也不乏几何语言。 它还在很大的空间上解释了数学各种概念和方法的发展和完善过程以及数学教育的演变。 这些过程仍在继续。
好评
克莱因在《高视角的初等数学》序言中指出了大学和中学数学教育之间的“双重脱节”现象：大学生觉得自己所学的内容与中学所学的内容无关，而当他们在中学任教的时候，我在大学里学到的东西就不再需要了，所以那些内容只存在于美好的回忆里。 本书的直接目的自然是要改变这种不合理的现象，让数学新发展所产生的新概念渗透到中学数学教育中。 按照我们现在的说法，就是使数学教育“现代化”。
克莱因采用的标题表明他认为教师应该对数学有高层次的看法。 原因是，观点越高，事情显得越简单。 例如，一些在实数域中难以理解的事情，从复数域的角度来看就清楚了； 一些在欧几里得空间中难以解释的现象，可以从射影空间的角度得到满意的解释。 下面给出两个具体例子。
克莱因指出，中学传统的对数教学存在明显缺陷。 他建议引入对数函数作为等角双曲线下的面积，这既简单又明确。 他还指出，在复数领域，对数是一个多值函数，而对数作为实函数只是无数值中的一个。 因此，在复数域中，可以清楚地看到对数函数的本质。 无论我们的老师是否愿意（或可能）采用克莱因提出的引入对数的方法，有一点是肯定的：如果他将对数函数理解为复数，那么他在讲授实数时就会记住它。 ，是可以弥补漏洞的。 至少当学生提出问题时，他能够正确回答并轻松应对。
通过变换群阐明不同几何的本质及其相互关系，是克莱因的伟大发明之一。 《高处看初等数学》用了大量的篇幅讨论了欧几里得几何、仿射几何和射影几何之间的关系。 在我看来，中学几何是欧几里得几何，但它还涉及到图形的仿射性质（如三角形的重心）和射影性质（如三点共线）。 如果教师能够区分各种性质，自然对教学大有裨益。 克莱因举了一个例子，说明了欧几里得空间内一个难以理解的现象：两个二阶曲面一般相交在一条四阶曲线上，但两个球面（二阶曲面）一般只相交在一条（实数）曲线上。或虚拟）圆（二阶曲线）。 事实证明，从射影空间的角度来看，可以认为两个球体仍然相交在“无限虚圆”中，两个圆共同构成了一条（简并的）四阶曲线。
教师应该多才多艺
克莱恩对老师的要求非常高。 《高视角的初等数学》涵盖的主题非常广泛。 除正文外，还有两个附录：《数e和π的超越》和《集合论》。 各部分的写法与通常的写法有很大不同，其很多内容超出了通常写法的范围。 比如“算术”部分，写的是四元数； “几何”部分写高维（甚至无限维）空间，随时讨论历史和应用。 显然，克莱因认为教师应该掌握或理解这些。 他认为，大学生学到了很多具体的东西，但很多对中学教学有用的重要东西却常常被忽视。 《高视角的初等数学》侧重于弥补这些不足，揭示数学各部分之间的联系，指出它们的共性，它们产生和成长的内因和外因及过程，以及它们的应用等。克莱因他们认为，教师必须懂得比他所教的更多的知识，才能引导学生绕过悬岩和危险的浅滩。 他喜欢用“融合”这个词。 《高处看初等数学》确实体现了初等数学与高等数学的融合，数学各部分、几何概念和算术概念的融合（这里和其他很多地方，“算术”用在了广义上指纯数学）。 几何对立面的融合（包括代数和分析），感性与理性的融合（甚至一维、二维、三维空间的融合）等等。 可以认为整本书就是以上内容的融合。 强调这一切的目的是为了让大学生和教师对数学有更全面的认识，有更高水平的修养。
数学的发展史
克莱因反复强调的一个教育原则是根据学生的认知规律（包括年龄和成熟程度）进行教学。 具体来说，从简单到复杂，从低级到高级，从感性到理性等等。他讲数学史，因为他认为学生对数学的认识，从某种意义上来说，对应着人类认识数学的历史过程。 。 当然，这并不意味着学生的认知应该重复人类历史上的认知。
克莱因在讲述数学史时，强调了对事物认识加深的必然性（这并不排除偶然性）。 一些新概念的出现，是客观条件已经成熟的结果，而不是必然。 例如，他指出负数和复数的出现与数学家的意志无关。 非欧几里得几何出现后，许多数学家被迫承认这一点。 微积分有一个从粗略到严谨的艰难历程。 几何对象的函数和范畴概念的演变经历了一个漫长的过程。 我觉得了解一些历史是非常有意义的； 我们的课程往往从头到尾形成一个完整的逻辑体系。 学生很难完全理解数学是如何在学习过程中逐渐成长以及将如何继续发展的。
公理系统
《高处看初等数学》很多地方讲到了公理体系，特别是关于数的公理和几何的公理。 克莱因认为，公理不能脱离直觉，不能排除人们对客观事物的认识。 因此，我们反对认为公理可以随意选择，只要相互兼容即可，即不发生矛盾。 他还认为，一个人不能按照一套公理体系来教学。 因为这首先不符合学生的认知规则。 逻辑并不是数学教学的唯一指导思想。 除此之外，他还有更深层次的原因。 他将数学比作一棵树，将公理比作树的根。 当树逐渐长大时，树干和枝叶向上生长，根也向下生长。 因此，既没有最终的终点，也没有最初的起点，也就是说，教学没有绝对的基础。 对于教师来说，之所以需要了解公理在数学中的作用和意义，与他对教师的要求是一致的； 毕竟，公理系统作为演绎逻辑结构在数学中占有极其重要的地位。 如果你不理解它，你就无法理解数学的本质和全貌。 在教学中，教师必须考虑大多数学生的兴趣和接受能力。 同时，他们应该能够满足一些有才华的学生的求知欲，并适当地回答他们可能提出的问题。
规则和指南针构造以及费马大定理
这两个问题在《高视角的初等数学》中并不占据重要地位，但克莱因对它们的几句精辟论述，可以为我们很多年轻学生和业余数学爱好者提供参考。 《从高处看初等数学》更详细地讨论了圆规和尺子在绘图中的使用。 说到角三等分问题（即只用尺子和圆规将任意给定的角分成三等分的问题），就是所谓的“几何三大问题”之一。 另外两个问题是“流通”。 “圆的平方”和“立方体的倍数”。 它们是古老的话题，但它们早已被证明是不可能的。 化圆为方的问题与圆周率的超越有关，另外两个问题的不可能性是用算术方法证明的）当时，克莱因指出：许多人想出了自己的“解决方案”，并希望其他人会指出错误，但他们的知识基本上仅限于初等几何，不愿意理解用算术方法做出的不可能性证明。 为了让读者理解这个算术证明，以便在“解”发给他们时能够站稳脚跟，他给出了用尺子和圆规不可能构造出正七边形的证明。
费马大定理近年来才取得重大突破，但尚未最终解决。 （费马大定理于1994年由英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。）《高视角的初等数学》对这个“定理”的含义有非常有趣的说明，其历史可以追溯到克莱。 根据当时的研究现状进行了简明的介绍。 克莱因指出，自1907年以来，众所周知，任何能够证明或反驳费马大定理的人都会获得巨额奖金，已经有大量的“证明”。 这些人属于各行各业，但他们有一个共同点：他们对探索这个问题所遇到的严重数学困难一无所知，也不想理解其中的困难。 他们只希望凭借突然的灵感一下子解决所有问题。 当然，他们的结果毫无意义。
上述对《高处看初等数学》的一瞥，并不意味着全面，但也意味着不犯大错误。 本书的作者和本文的读者均无罪。 希望我国有更多的人像克莱因一样关心数学教师的培养和提高以及数学教育的改革，并为此做一些实事。 《高角度的初等数学》中译本的现实意义就在于它将推动这两方面工作的进步。 然而，距离德文版出版已经过去了64年，距离英译本出版也已经过去了50年。 现代数学发生了巨大变化，新成果、新概念、新观点、新学科相继涌现。 但数学的本质和真理是永恒的，像克莱因那样探索数学教育的规律应该是一致的。 我们热切希望我国高水平数学通才能够写出更加符合我国实际、更加现代化的《高视角初等数学》。 这样一本书的出版，将是我国数学教育史上的一件大事。
1989年6月 南开大学
摘自《高处看初等数学》（第一卷）
《高视角的初等数学》（三册）
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