本文发表于2020年《三联生活周刊》第5-6期，原标题为《我们为什么相信'心形功能'的爱？》，严禁私转，侵权必究究
我们太确定爱在心形中的意义，我们太相信数学中爱的不确定性的准确表达。
文字/陈璐
一封写给数学的情书
之间
发明解析几何的法国数学家勒内·笛卡尔和瑞典公主克里斯蒂娜，都有一段非常浪漫的爱情传说，堪称科学工程暴君告白的典范。
故事开始于 1650 年斯德哥尔摩的一个下午，当时 52 岁的笛卡尔正在街上研究一个数学问题。这位法国哲学家和数学家因黑死病逃往瑞典，他所拥有的只是破烂的衣服和随身携带的几本数学书。
他殷勤的眼神吸引了一个路过的女孩，18岁的克里斯蒂娜。她拿起笛卡尔的数学书和草稿纸，开始和他说话。在谈话中，笛卡尔发现这个小女孩思维敏捷，对数学有着浓厚的兴趣。两人告别后不久，他就接到了国王的通知，他被聘为小公主的数学老师。克里斯蒂娜就是这位公主。爱情在日复一日的相处中悄然萌芽。然而，当这件事传到国王的耳朵里时，国王大发雷霆，下令立即处死笛卡尔。最终，在公主的恳求下，笛卡尔被送回法国。
身体不好的笛卡尔回来后不久就感染了黑死病，他的生命进入了倒计时。在他最后的日子里，他仍然想念克里斯蒂娜，并坚持每天给她写信，希望得到爱人的回复。但这些信件被国王截获了。当笛卡尔寄出他的第十三封信时，他永远离开了这个世界。这封最后的情书没有一句话，只有一个方程：r=a（1-sinψ）。
看不懂这封信的国王召集了城里所有的数学家，但没有人能解决这个方程式。于是，他满怀信心地把信交给了闷闷不乐的公主。拿到信的克里斯蒂娜立刻找来笔和纸，在坐标轴上画出函数方程，一个心形图案出现在眼前，这是笛卡尔对克里斯蒂娜的最后表白。这个方程被称为“心形函数”。
心形功能极坐标的解析公式和图像
这个传说既美丽又硬核，符合所有人对一个数学家最深沉的告白的想象，因此广为流传，感动了无数吃瓜的人。然而，当我决定验证这个故事时，我在网上搜索了一下，没有找到这个故事的记录。这个爱情故事其实完全是中国制造的，和都市传说一样令人难以置信。
从历史上看，笛卡尔确实是克里斯蒂娜的老师，并因她而死，但这个故事远没有那么浪漫。与传说相反，克里斯蒂娜并不是一个软弱的公主，她的父亲是著名的北方战神古斯塔夫二世。1632 年，古斯塔夫二世在吕岑战役中阵亡，六岁的克里斯蒂娜成为瑞典女王，并在她统治的短短 21 年内带领瑞典登上了权力的顶峰。
1649 年 9 月，53 岁的笛卡尔接受了克里斯蒂娜女王的邀请，从荷兰来到瑞典斯德哥尔摩，在那里她担任宫廷教师，向女王教授哲学。此时，克里斯蒂娜24岁，已经执政多年。克里斯蒂娜对笛卡尔的到来感到非常高兴，并解除了他所有的宫廷琐事，除了每周三次在早上5点来与她讨论哲学问题。然而，令她没想到的是，笛卡尔讨厌早起。由于从小就身体虚弱多病，笛卡尔养成了躺在床上的习惯，早上11点之前不会起床。碰巧那个冬天是斯德哥尔摩60年来最冷的冬天，所以教学成为一个意想不到的提醒，他很快就感染了肺炎，并于第二年春天去世。
法国数学家勒内·笛卡尔
什么
真正符合故事中公主形象的，其实是波希米亚国王腓特烈五世的长女伊丽莎白公主。她天生聪明，好奇心极强，在认识笛卡尔之前，她就通读了笛卡尔的大部分著作。从1643年起，笛卡尔与伊丽莎白公主通信。伊丽莎白渴望了解笛卡尔的形而上学问题，特别关注身体与灵魂之间的关系。她问的第一个问题与身心互动有关，但笛卡尔的回答并没有让她满意，所以公主要求笛卡尔更清楚地描述“灵魂的激情”。这影响了笛卡尔的思想方向，同时导致了《灵魂的激情》一书的诞生。
更有趣的是，伊丽莎白也非常喜欢数学，她的爱好之一就是解析几何问题。笛卡尔曾写信给伊丽莎白说：“经验告诉我，大多数能够理解形而上学演绎方法的人都无法理解代数的结构。那些能理解代数的人往往无法理解形而上学。我高贵的公主，在我看来，你可以很容易地同时理解两者。公主写给笛卡尔的信总是署名“致你深情的朋友”。两人虽然相差22岁，但书信里却满满的深情，丝毫没有年龄差。几乎所有笛卡尔的传记作者都推测他们是否爱上了一个女人，但没有人能从这些充满思想的信件中捕捉到任何证据。
然而，伊丽莎白坚决反对笛卡尔去瑞典宫廷担任女王老师的决定，态度极为激烈。后来，当波兰瓦萨王朝的维瓦蒂斯四世向伊丽莎白求婚时，她断然拒绝了，理由是“我已经爱上了笛卡尔的哲学，并希望为之奉献一生”。
法国情诗《梨之爱》所附插图
“。
人心，爱的象征
虽然这个故事纯属虚构，但人们之所以相信它的原因之一，自然要归咎于这个函数图的独特形状。这不可避免地引发了人们对其背后是否有一个引人入胜的爱情故事的疯狂猜测。然而，有趣的是，即使是心形功能也不是笛卡尔的发明。
目前尚不清楚是谁首先绘制了这个误导性函数，但心形函数中使用的极坐标系最早是由笛卡尔去世一百年后的另一位伟大数学家艾萨克·牛顿（Isaac Newton）在他1736年出版的《流数和无穷级数》一书中应用于平面的。此外，心形函数的英文名称“Cardioid”由意大利数学家De Castillon于1741年正式命名，并发表在《英国皇家学会会刊》上，意思是“像心脏一样”。
然而，尽管心形功能不是笛卡尔的发明，但作为解析几何的创始人，没有他就不会有心形功能，人们很乐意将这个故事安排在他身上。但是，当我们看到一颗心的形状时，为什么我们会想到爱呢？这个形状什么时候成为爱情的象征？
“在13世纪和14世纪之前，这并不意味着爱情。加州大学洛杉矶分校（UCLA）中世纪文学教授埃里克·雅格（Eric Jager）在他的《心模式的过去和现在》一书中指出。虽然人们在看到心形时会想到一系列与爱相关的词，但古希腊人可能对这种用法感到非常困惑。
这种现在人们熟悉的形状最初是作为装饰形状出现在许多古希腊陶器上的，粗略描绘的叶子和其他植物图案包裹在一条不复杂的曲线上，不包含任何其他含义。但是，当爱情的概念在中世纪开始形成时，它的象征意义也随之而来。
早在古希腊，抒情诗就经常将心与爱联系在一起。在已知最早的希腊故事中，诗人萨福因他的“疯狂的心”而遭受爱情的颤抖。她生活在公元前 7 世纪的岛上，周围环绕着她的女弟子，她为她们写下了热情洋溢的诗歌，例如：爱摇晃我的心，就像山上的风吹乱了橡树。
希腊哲学家也或多或少地同意，心灵与人们最强烈的情感有关，包括爱。根据柏拉图的说法，胸部在爱情和负面情绪（如恐惧、愤怒、愤怒和痛苦）中占主导地位。亚里士多德进一步扩大了心脏的作用，赋予它至高无上的地位。古罗马人将心与爱联系在一起的情况并不少见。爱神维纳斯在儿子丘比特的帮助下点燃了人们的心，丘比特的箭总是击中人们的心。
在心形图像的历史上，最常被提及的作品之一是诗人蒂博 （Thibaut） 于 1255 年创作的法国情诗 Le Roman de la Poire 所附的插图，这被认为是解剖学文献之外的第一幅心脏插图。人们相信，这首诗和意象的灵感来自这样一个事实，即一个深爱的人可以将自己的心交给所爱的人，就像诗中的情人将梨子送给别人一样。然而，诗中插图中心形的形状更像是梨子，这与我们今天所知道的还是有些不同。
心与爱结合的另一个早期例子来自中世纪的手稿 Codex Manese，这是一部可追溯到 1300 年至 1340 年间的爱情诗集。在其中一幅插图中，一棵奇特的树矗立在一对夫妇之间，形成了一颗心的轮廓，其纹章上有拉丁字母“爱”。
意大利诗人弗朗西斯科·巴贝里诺的诗集《爱的记录》插图
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到 1400 年，意大利诗人弗朗切斯科·巴贝里诺 （Francesco Barberino） 的诗集《爱之文献》出版，大胆地描绘了一个裸体丘比特，站在马背上，脖子上戴着心形花环，射出箭和玫瑰的图像。这个图案迅速流行起来，心形开始出现在挂毯、扑克牌和其他艺术形式上。
现藏于卢浮宫的 15 世纪早期挂毯 Le don du Coeur 描绘了一个男人小心翼翼地捧着一颗小小的红心，走向一个栖息在绿叶中的女人，仿佛要把它交给她。这个形象成为“宫廷爱情”最受欢迎的代表之一。“宫廷之爱”是柏拉图式的爱情规则，支配着欧洲贵族宫廷的行为。这幅奇幻的画面在贵族圈子里广为流传，展现了高贵而有礼貌的爱情。与此同时，在1440年，约翰内斯·古腾堡（Johannes Gutenberg）用活字印刷机引发了一场信息革命，以心为代表的爱的意义被广泛接受。
卢浮宫的 15 世纪早期挂毯“心灵的礼物”
如何用数学找到真爱
“心形功能”故事的另一个引人入胜的方面是，人们试图在感性的爱和理性数学之间建立联系。这可能是因为历史上许多数学家都试图用数学方法帮助他们找到真爱。
约会有点像赌博，如果安定得太早，可能会错失遇见“真爱”的机会，但如果等得太久，可能会孤身一人。那么，在你决定嫁给这个人之前，你应该和多少人约会呢？这个问题被数学家称为“最优停止理论”，又称“未婚妻问题”，在20世纪50年代的美国数学家中被反复讨论。人们普遍认为，这个问题最早是由美国数学家 Merrill M. Flood 于 1949 年解决的，并于 1961 年由英国统计学家 Dennis Lindley 首次发表。根据这个理论，要找到最适合结婚的人，你必须忽略前 37%。
例如，如果你一生中遇到 100 个追求者，你应该拒绝前 37%（即 37 个），然后从第 38 个追求者开始，一旦你找到一个比前 37 个更好的人，你应该果断接受他。然而，37%的规则有一个小问题：如果最好的候选人已经在37%的人中，而你错过了这37%，你永远不会遇到更好的人。但你可能无法判断最佳候选人是否被拒绝，所以你仍然需要等待 37% 的几率“失败”或被迫选择最后一个追求者。
在他的
第一任妻子死于霍乱，德国数学家约翰内斯·开普勒（Johannes Kepler）试图用数学方法找到他的下一任妻子。在 1613 年写的一封信中，他描述了他计划如何花两年时间面试 11 名可能的未婚妻候选人，对他们进行排名，然后做出深思熟虑的选择。虽然他不知道自己运用的“妻子适宜性函数”是什么，但他可能已经察觉到了“未婚妻问题”的破绽。开普勒试图回去向他采访的第四个人求婚，但她已经离开了，因此拒绝了他。最终，他选择与11名候选人中的第五名喜结连理。
约翰内斯·开普勒
同时，“最优停止理论”认为，人们应该等到37%的“约会期”过去后，才开始寻找他们想要安定下来的伴侣。例如，如果一个人想在 35 岁之前结婚，并在 15 岁开始约会，那么他/她应该在 15+（35-15）×37%=22.4 左右开始接受下一个比以前更好的伴侣。
数学家使用数学方法来处理与爱情有关的问题比我们想象的要多。2010年菲尔兹奖得主塞德里克·维拉尼（Cédric Villani）在他的日记自传《定理的诞生》（The Birth of a Theorem）中写道：“飞行一直只是经济舱”，因为从统计学上讲，“经济舱的女孩更可爱”。
2010年，在单身三年后，当时还在华威大学攻读博士学位的数学家彼得·巴克斯（Peter Backus）写了一篇题为《为什么我没有女朋友》的论文。其中，他用一个叫做“德雷克方程”的数学公式，设定了“我附近住着多少女人”、“有多少人适合这个年龄”、“有多少人单身”、“有多少人和我相配”等一系列问题，并计算出英国只有26个真正的女人适合他。他还得出结论，每天晚上，他只有 1/285,000 的机会遇到其中一个。巴克斯为他长期单身找到了理由，但同时他觉得找到一个符合标准的人几乎是难以捉摸的。不过，好消息是，巴克斯最终遇到了其中之一——罗斯，一个来自伦敦的女孩，他现在正在娶她。
数学也被应用于婚姻关系的预测。心理学家约翰·戈特曼（John Gottman）和数学家詹姆斯·默里（James Murray）开发了一个数学模型，通过对夫妻在谈话中的情绪表现进行评分来量化夫妻在争吵中的互动和影响，例如4分表示赞同，2分表示兴趣，2分表示拒绝沟通，并通过视觉图像分析为经历婚姻危机的夫妻提供咨询。
他们发现，最终每对夫妇的得分趋势会慢慢稳定下来，变化不大。这种趋势代表了夫妻之间的问题，如果他们的谈话评分曲线一直下降，就意味着两人真的很难欣赏对方，婚姻最终可能不会继续下去。基于不同的功能形象，戈特曼和默里将婚姻分为五类：不稳定的、理智的、回避的、敌对的和分裂的。虽然前三位的相处方式不同，但都属于比较长久的婚姻。对130对夫妇进行了12年的随访，模型的整体预测准确率高达94%。古特曼和默里后来在一本名为《婚姻的数学：动态非线性模型》的书中发表了这项研究。
如果说连接爱情和数学曾经是专属数学家的高端游戏，那么现在随着网恋的日益普及，数学在爱情中的作用正在逐渐加强。在日本漫画《禁止恋爱的世界》中，为了解决少子的问题，日本政府禁止了自由恋爱，取而代之的是政府全面接管。也就是说，政府会分析一系列的遗传学和各种数据资料，并用数学模型帮你决定合适的结婚对象，确保两个人的契合度。尽管这是一个极端的假设，但越来越多的约会软件正在利用一套数学解决方案来帮助用户匹配潜在的合适候选人。
伽利略·伽利莱曾经说过：“数学是描述现实、揭示世界如何运作的语言，这种通用语言已成为检验真理的黄金标准。或许，正是因为爱情的不确定性，人们才希望能够用准确的语言来描述和检验它，而“非对非对”的数学标准，也能为那些情绪犹豫的人提供直接的解决方案。然而，我们需要警惕阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）所说的话：“数学定律越接近现实，它就越不确定，而数学定律越确定，它离现实就越远。"
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