世界顶级数学期刊之一：量子物理到DNA结构的拓扑学

花了不到一周的时间，解决了一个几十年来无人能解决的数学问题。 后来，凭借这项研究和其他工作，他在获得博士学位仅 14 个月后就被授予麻省理工学院助理教授职位。 位置。

这个故事确实发生在一位年轻的数学家丽莎·皮奇里洛身上。 乍一看，这听起来充满了“天才”、“机遇”等令人羡慕的元素，但这当然只是表象。

○ 丽莎·皮奇里洛 | 图片来源：utexas.edu

皮奇里洛喜欢结理论的视觉直观性，但她并不认为自己主要是一个结理论家。 Piccirillo 对三维和四维流形最感兴趣，但这些研究与扭结理论有很深的联系，因此她也对扭结进行了一些研究。

她的证明于二月份发表在世界顶级数学期刊之一的《数学年鉴》上。 论文标题简短明了“康威结不是切片”（The Conway junction is not a slice）。 她成功证明了康威结不是光滑的切片，并完善了少于13个交点的切片结的分类。 。

在介绍什么是切片扭结之前，我们首先了解一下扭结的概念。 我们日常生活中所谓的“结”通常是指以特殊方式扭在一起的绳子。 绳子的两端没有连接，这些结也可以用相应的方式解开。

但在数学家眼里，扭曲的“绳子”的两端是相连的。 过去一个世纪以来，这些“打结环”出现在各个领域，从量子物理学到DNA结构和三维空间拓扑，有助于解释许多问题。

如果你上升一个维度，在想象的空间里思考，事情就会不一样。 要创建四个维度的“打结”对象，您需要一个二维球体，而不是一维环。 第三维提供了足够的空间来构建打结环，第四维也为打结球体提供了这样的空间。

对于我们来说，很难想象“四维空间中打结的球体”的画面。 或许我们可以先考虑三维空间中的一个普通球。 如果你在这个三维空间中切开一个普通的球，你会看到一个没有打结的环。 但是当你在四维空间中切片一个有结的球体时，你看到的可能是一个有结的环，一个无结的环，或者连接在一起的几个环。 ，取决于切片的位置。

通过切片有结球体获得的所有扭结称为切片扭结。 并非所有纽结都是切片，例如三叶结就不是切片。 切片扭结在扭结理论的第三个维度和第四个维度之间架起了一座桥梁。

○ 三叶结。 | 图片设计：雯雯； 材料来源：维基共享资源

然而，第四维度还有一些更独特的地方。 在四维拓扑中，切片有两种含义。 数学家发现，四维空间不仅包含我们直观看到的光滑球面，还包含无法压平的皱纹球面。 哪些扭结被切片的问题取决于是否选择包含这些折叠的球体。

这些奇怪的球体是四维拓扑的特征。 这些扭结是“拓扑切片”而不是“光滑切片”，这意味着它们是某种皱纹球体的切片，而不是光滑球体的切片。 这些怪癖使得数学家能够构建“奇异”版本的四维空间。 切片扭结还为数学家提供了一种探索四维空间的奇怪性质的方法。

多年来，数学家发现了各种“拓扑切片”而不是“平滑切片”的扭结。 数学家们已经弄清楚了几乎所有具有 12 个或更少交叉的扭结的切片性质，除了一种无法识别的扭结——康威扭结。

康威扭结是半个多世纪前由著名数学家约翰·霍顿·康威发现的（康威于今年四月因病去世）。 这个扭结有 11 个交叉点。

20世纪80年代，数学家们已经认识到康威扭结是一个拓扑切片，但他们无法确定它是否是一个光滑切片。 数学家怀疑事实并非如此，因为扭结似乎缺乏一种称为“带状”的特征，而这种特征通常存在于平滑切片的扭结中。 但这从未得到证实。

康威扭结有一个密切的“兄弟”变体。 如果你在纸上画一个康威扭结，剪掉纸的一部分，翻转它，然后重新连接，你会得到另一个扭结，称为木下-寺坂扭结。

○ 图中，左边是康威结，右边是木下寺坂结。 | 图片设计：雯雯； 素材来源：参考文献[3]

问题是，木下-寺坂扭结恰好是一个光滑的切片。 由于康威扭结与平滑切片扭结密切相关，因此它成功地“隐藏”了所有用于检测非切片扭结的工具。 不变量是数学家使用的检测工具，而康威的扭结似乎处于各种检测工具的盲点。 这也使得康威的扭结是否是切片的问题成为许多现代扭结理论领域发展的试金石。

2018年夏天，Lisa Piccirillo参加了一个关于低维拓扑和几何的学术会议。 雪莉·哈维教授在一次演讲中提到了康威的怪癖。

这是皮奇里洛第一次介绍这个有趣的数学问题。 这似乎是她在研究生期间开发的一些技术的良好试验场。

每个扭结都有一个相关的四维形状，称为迹线。 扭结的轨迹以非常强烈的方式“编码”扭结。 不同的扭结可以具有相同的四维轨迹。 数学家已经知道，这些具有相同轨迹的扭结总是具有相同的切片状态，即要么都是切片，要么都不是。

皮奇里洛想出了一个策略。 如果她能创造一个与康威扭结具有相同轨迹的“兄弟”，她就可以用这个“兄弟”来证明康威扭结是否是切片。 构建具有相同轨迹的扭结并非易事，但 Piccirillo 擅长于此。

通过巧妙的组合，皮奇里洛成功地构建了一个复杂的扭结，其轨迹与康威的扭结相同。 对于这种扭结，一种名为 Rasmussen s-invariant 的检测工具证明，这种扭结不是平滑切片，因此康威扭结也不是。 这个过程花了她不到一周的时间。

○ Piccirillo 扭结。 | 图片设计：雯雯； 素材来源：参考文献[1]

kink track 是一个已经存在了几十年的经典工具，但 Piccirillo 显然比任何人都更了解它。

皮奇里洛发现答案几天后，她遇到了德克萨斯大学奥斯汀分校的数学家卡梅伦·戈登教授，并告诉了他这个结果。 戈登教授非常惊讶。 他觉得皮西里洛没有意识到这个问题有多么古老和著名。 他兴奋地要求皮奇里洛立即将论文提交给《数学年鉴》。

波士顿学院的约书亚·格林 (Joshua Greene) 是皮奇里洛的本科老师。 他认为 Piccirillo 的证明非常漂亮，她的工作向拓扑学家表明人们对扭结轨迹的理解还不够。 现在“其他人已经开始效仿”。

标签： 数学 拓扑学 康威