数学教会了我们什么？解直角三角形典型中考数学

数学教给我们什么？ 数学会考什么？ 很多人认为只要掌握了知识定理和方法技巧，就可以从容应对考试，取得高分。 如果你这样想，你大考很可能会失败。

无论是中考还是高考，作为国家人才选拔考试，不仅考验考生对知识的掌握程度，更考验考生运用知识分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维能力。

因此，命题老师在设计题型时，会综合考虑这些因素，并与实际工作、生活背景和相关知识内容相结合，形成一些有特色的题型。

解直角三角形是初中数学中比较独特的知识板块。 一直是全国中考数学必修的热点话题之一。 解直角三角形的最大特点是通过角和边建立对应的等价关系，其中蕴含着丰富的数字与形状相结合的思维方法。

同时，学习解直角三角形可以帮助你为高中数学中的三角函数做好准备。 近年来，中考数学中考解直角三角形相关知识的题型不断创新，涵盖填空题、选择题、解答题等。解直角三角形的应用考试涉及仰角、俯角、方位角、斜率等重要知识点。

今天我们就来说说如何复习这部分内容，并通过典型事例的分析来指导如何解决问题。

​解直角三角形，中考典型题解析1：

早上8点，一艘船在A点西南方向看到一座灯塔B。 此时，测得船舶与灯塔的距离为36√2海里。 该船以每小时20节的速度向西南24°方向航行至C点。 ，此时，在船的正北面看到了灯塔。 （参考数据sin24°≈0.4，cos24°≈0.9）

(1)求船舶到达C点的时间；

(2)当船到达C点时，求船与灯塔之间的距离。

解：延长CB和AD，交于E点。

∴∠AEB=90°，

∵∠BAE=45°, AB=36√2,

∴BE=AE=36。

根据题意：∠C=24°，

sin24°=AE/AC，

∴AC=90。

90÷20=4.5，

于是我们在12点30分到达C点；

(2) 在直角三角形ACE中，cos24°=EC/AC，

即cos24°=(36+BC)/90，BC=45。

所以当船到达C点时，船到灯塔的距离是45海里。

测试点分析：

解决直角三角形的应用-方向角问题。

题干分析：

（1）要确定有多少个点到达C，需要先求出到AC的距离，然后根据时间=距离除以速度求解。

(2) 船舶与灯塔之间的距离为BC长度。 画CB的延长线，与AD交于E。根据直角三角形的角度，用三角函数求CE的长度。 减去BE即可得到BC的长度。

解决问题的反思：

本题考查直角三角形的应用——方向角问题。 关键是要了解西南方向和正北方向，才能找到夹角的度数。 画辅助线形成一个直角三角形来求解。

解直角三角形是初中数学的重要组成部分。 利用直角三角形边和角的关系来解决生活中的实际问题。

​解直角三角形，中考典型题解析2：

小刘在课外活动中观察了起重机的工作过程，并画出了如图所示的平面图。 已知起重机臂的支点O距地面的高度OO'为2米。 当臂架顶部从A点升到A′点时（臂架长度不变），地面B处的重量（忽略大小）被提升到B′点，紧悬吊索A′B′=AB。 AB在B点垂直于地面O'B，A'B'在C点垂直于地面O'B，臂架长度OA'=OA=10米，cosA=3/5，sinA '=1/2。

(1)求重物水平方向移动的距离BC；

(2)求重物垂直方向移动的距离B′C。 （结果保留根符号）

​

​测试点分析：

解直角三角形的应用； 综合几何问题。

题干分析：

这道题首先通过将实际问题转化为直角三角形问题来解决。 (1) 先过O点，在D点作OD⊥AB，与A′C相交于E点，则得EC=DB=OO′=2，ED=BC。 通过求解直角三角形AOD和A'OE，可以得到OD和OE，进而求出BC。

(2) 先解直角三角形A′OE，得A′E，再求B′C。

解决问题的反思：

这道题考验的是对直角三角形的理解的应用。 解决问题的关键是将实际问题转化为直角三角形问题来求解。 这道题用到了直角三角形函数和毕达哥拉斯定理。

解直角三角形是初中数学的重要知识点，也是中考考验学生解决实际问题能力的热点。 这类问题列表和解决过程一般都比较简单。 关键是要弄清楚直角三角形的边和角的关系，并能根据问题的含义正确画图或读图。

三角形是平面几何中最基本的图形之一，因为许多复杂的图形可以通过将辅助线转换为三角形来求解。 最特殊和最重要的三角形是直角三角形。

解直角三角形，中考典型题分析3：

正在修建的高速公路某处需要开辟一条隧道，工作人员正在初步估算隧道的长度。 现用测量机在高度C（相对于A高度1500米）测量隧道入口A和隧道出口B的俯角分别为53°和45°（隧道入口A和隧道出口B位于相同海拔），计算隧道AB的长度。 （参考数据：sin53°=4/5，tan53°=4/3）

​测试点分析：

解决直角三角形的应用——高低问题。

题干分析：

根据题意，可得CD=1500m，∠CAD=53°，∠CBD=45°，可得CD=BD，解直角三角形即可求得。

解决问题的反思：

本题主要测试仰角和俯角。 该题型是中考的热门话题。 学生要学会从已知的知识中导出线段和角度之间的关系，这是解决问题的关键。

因此，直角三角形在初中数学中占有举足轻重的地位。 这部分内容也受到越来越多命题的青睐，成为各地高考必考、热点内容。 解决此类问题的关键是构建直角三角形模型。 其思路一般是构造一两个直角三角形，利用三角函数直接求解，或者根据图形中的数量关系建立方程。

解直角三角形，中考典型题解析4：

某河上有一座半圆拱桥，河两岸筑有水坝。 其半圆形桥孔横截面如图所示。 已知上下桥坡度线ME、NF均与半圆相切，上下桥坡度i=1：3.7，桥下水深5米。 水面宽度CD=24米。 假设半圆的圆心为O，直径AB在坡角顶点M和N的连线上。求从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长度。（参考资料: π≈3, 3≈1.7, tan15°= 12+3)

解：已知CD=24，0P=5，

∴PD=12,

∴OD2=OP2+PD2=52+122=169，

∴OD=13，则OE=OF=13，

已知斜率i=1:3.7且tan15°=12+3=1:3.7，

∴∠M=∠N=15°，

∴cot15°=2+3,

∴ME=FN=13·cot15°=12×(2+3)=24+12 3,

∠EOM=∠FON=90°-15°=75°,

∴∠EOF=180°-75°-75°=30°，

∴EF^= 30360×2π×13= 136π,

∴ME+ EF^+FN=24+12 3+ 136π+24+12 3≈95.3。

答：从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径是95.3米。

测试点分析：

解决直角三角形的应用 - 斜角问题、几何图形问题。

题干分析：

首先明确从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长度应该如图ME+EF^+FN所示。 连接如图所示。 实际问题转化为直角三角形问题。 由已知可得OD，即半径，再由斜率i=1:3.7和tan15°= 12+3=1:3.7，可得∠M=∠N=15°，故ME和FN可得找到，所以∠EOM=∠FON= 90°-15°=75°，则可以得到EF^对应的圆心角∠EOF，依次求出弧EF的长度，从而找到最短路径从M点上坡，过桥，下坡到N点。长。

解决问题的反思：

本题考查的知识点是解直角三角形的应用。 解题的关键是先由已知求出半圆的半径和∠M、∠N，然后由直角三角形求出MF、FN，求出弧EF的长度。

纵观全国中考数学试卷，解直角三角形应用题一直是中考必考的热门题型。 考生经常会遇到一些问题，例如计算物体的高度（例如旗杆的高度、建筑物的高度、山的高度）、解决导航问题（例如求航行时间、航行速度和判断是否有搁浅的危险）。 只要大家掌握好，相信掌握了直角三角形的相关知识，熟练掌握解题方法，就能得到相应的分数。

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