我们分享了如何领略数学之美，如何感受数学的真理。 所有这些可能都需要你进入数学的世界并真正理解它之后才能实现。 但数学的乐趣更简单！ 一组简单的数字、隐藏的属性，甚至看似无关实则密切相关的“秘密关系”，都会让你发现数学原来这么有趣！
撰写者 | 袁亚翔
让我们回到数学的另一个关键词——乐趣。
著名数学家陈省身曾说过：“数学很好玩，玩得好。” 微分几何中有“高斯-博内特-陈公式”、“陈述类”、“陈-西蒙理论”等，可见他在微分几何方面的大师级地位。 那么，数学有哪些有趣的事情呢？
陈省身（1911-2004）
首先，数字本身很有趣。 小学阶段，孩子们在了解了数字之后，很快就会知道很多有趣的数列，比如算术数列、几何数列、斐波那契数列等。算术数列、几何数列中的每项计算以及几项之和都有简单的公式。 斐波那契数列{1,1,2,3,5,8,13,21,...}是意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖的数增长规律时发现的。
他在1202年出版的《素数》中提出了这样的问题：假设每对兔子出生两个月后，每个月都会生出一对新兔子，那么从一对开始，一年后会有多少只兔子？ 给兔子？ 研究每月兔子的数量可以推导出斐波那契数列。 数列的第一项和第二项都是1，数列中的其他项是该项之前的两个数字之和。 斐波那契数列有很多有趣的性质，其中之一就是相邻两项的比例逐渐逼近黄金比例。 《素书》向欧洲介绍了印度-阿拉伯计数系统，书中还收录了大量与贸易和货币兑换相关的信息。
斐波那契 (1170-1250)
若干个数按照一定的方式排列可以构成方阵。 我国古代有著名的河图洛书。 洛数就是把1到9排列成3×3的方阵。 横行各纵列的三个数加起来是15，对角线的三个数加起来是15。同样，我们可以用1到16组成一个四阶方阵，使得每一行相加到 34。
乘法规则中关于倍数和除数也有许多有趣的现象。 例如：如果一个数是3的倍数，那么它的各位数字之和也将是3的倍数； 如果一个数是9的倍数，那么它的各位数字之和也将是9的倍数。
有些乘法也有快速计算方法。 例如：一个数加1乘以该数减1等于该数减1的平方； 个位数为 5 的两位数的平方，就是十位数的数乘以自己。 加 1 再加 25 即可得到答案。 例如，45 的平方是 2025，75 的平方是 5625。
仅使用加、减、乘、除四种简单的算术运算，我们就可以得到一些有趣的数字谜题。 例如：给定一个正整数，如果它是奇数，则乘以 3 加 1。如果它是偶数，则除以 2。如果继续这样做，数字最终会变成 1。如果我们从 7 开始，我们得到 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1。这个有趣的问题通常被称为“3X+1 猜想” ”。 该猜想在西方有许多不同的名称，其中之一是科拉兹猜想，而在东方则常被称为角谷猜想。 这是因为有人认为德国数学家科拉兹是第一个研究这个问题的科学家，而日本数学家角谷则是把这个问题带到东方的学者。 虽然这个猜想尚未得到证实，但大家普遍认为其结论是正确的。
科拉兹 (1910-1990) 和角谷静夫 (1911-2004)
还有一些数字具有自己的特殊属性。 如果一个数是具有三个有理边的直角三角形的面积，则该数称为“同余数”。 从下图可以看出，5、6、7是同余数，费马是第一个证明1、2、3不是同余数的。
如果一个数等于其除自身以外的所有约数之和，则该数称为完全数。 6是一个完全数。 6除自身外，其余约数为1、2、3，6=1+2+3。 同样，28=1+2+4+7+14也是一个完全数。 不难验证496、8126、33550336也是完全数。
与完全数相关的一个概念是“亲和数”。 给定两个数A和B，如果A除自身之外的所有约数之和等于B，反之，B除了自身之外的所有约数之和等于A，我们说A和B是一对亲和数。 例如：220除自身以外的约数为1,2,4,5,11,20,22,44,55,110，它们的和为284，284除自身以外的约数为1,2,4， 71、142，它们的和正好是220。因此，220和284是一对亲和数，它是由毕达哥拉斯首先发现的。 后来，费马发现了亲和数17298和18416，笛卡尔发现了亲和数9363584和9437056。其他已知的亲和数包括：1184和1210、2620和2924、5020和5564、6232和6368……借助计算机，科学家们已经发现了数千对亲和数。
上面提到的完全数和亲和数都是针对合数的，而素数本身也有很多奇妙的规律。 如果一个大于1的自然数除了1和它本身之外没有约数，我们称这个数为素数，也称为素数。 最小的十个素数是2、3、5、7、11、13、17、19、23和29。欧几里得在《几何原理》中对素数做了一些讨论，得出的结论是“素数有无穷多个” ”。 这个结论很容易证明。 假设素数的个数是有限的：2,3,5,...,p，其中p是最大的素数。 我们将所有素数相乘并加1，即定义N=2×3×5×...×p+1。 显然，N 的唯一约数是 1 和 N 本身，因此 N(>p) 也是素数。 这与 p 是最大素数这一事实相矛盾，并且该假设不成立！ 因此，素数必定有无数个。
关于素数有许多神奇而有趣的现象。 前面提到的哥德巴赫猜想与素数有关。 关于素数的另一个著名猜想是孪生素数猜想，它指出存在无限对孪生素数。 这个猜想是法国数学家波利尼亚克在1949年提出的。一对孪生素数是指两个相邻的素数（相差2）。 例如，3和5、5和7、11和13、17和19都是孪生素数对。 数学家发现，随着数字越大，素数越稀有，找到孪生素数对就越困难。 但孪生素数猜想认为，存在无限对孪生素数。 也就是说，给定任意大的有限数，你总能找到一对更大的孪生素数。 仔细想想，这个猜想实在是太天方夜谭了。 不幸的是，这个猜想尚未得到充分证明。
Polignac (1826-1863) 和一些孪生素数对。 你能证明/证伪这个猜想吗？
2013年，中国数学家张益堂在孪生素数猜想上取得历史性突破。 他证明了素数有无穷多对，每对相差小于7000万。 随后，经过众多数学家的努力，7000万和7000万之间的差距已经缩小到了200多。孪生素数猜想中的素数对之间的差距为2。
张以棠（1955-）
“数学是科学女王”，大多数人都知道德国数学家高斯的这句名言。 其实这句话背后还有一句话：“数论是女王的王冠”。 高斯被誉为数学王子。 他本人在数学的许多方面做出了杰出的贡献，其中包括数论。 他还证明了代数基本定理，是非欧几何的发明者之一。 数学中的许多定理和方法都是以他的名字命名的，如高斯最小二乘法、高斯-邦内定理、高斯正态分布、高斯积分公式、高斯二项式定理等。
求解多元线性方程的消去法在中国古书《算术九章》中早已有记载，在西方也称为高斯消去法。 高斯出生于一个贫困家庭，小时候家庭条件并不好。 他的父亲是一名烧砖工人，不允许高斯上学。 他希望高斯长大后继续做烧砖工。 在叔叔的劝说和母亲的坚持下，高斯直到7岁才开始上学。 高斯一入学就展现出了他的数学天赋。 一个著名的故事是，高斯在9岁时自己推导出了一个特殊算术数列的求和公式，1+2+...+N=(N+1)N/2。 高斯在大学时给出了正七边形的尺规作图方法，并在24岁时出版了学术专着《算术研究》。 这本书仍然是数论最重要的著作之一。 高斯从30岁起一直担任哥廷根大学教授和天文台台长直至去世。
高斯论前西德货币（1777-1855）
数学中有一些著名的常数，它们的性质和特点也非常神奇。 我们之前详细介绍过圆周率和黄金比例。 我还想介绍一下自然对数的底，也称为欧拉常数：
另一个与欧拉相关的常数是欧拉-马切罗尼常数 γ：
还有一个特殊的常数，叫做拉马努金常数，它是用三个无理数e、π和163的平方根生成的。但是，它和整数之间的误差小于10！
印度传奇数学家拉马努金拥有极高的数学天赋和直觉。 他发现了许多神奇的、意想不到的数学公式和定理。 关于他还有很多有趣的小故事。 其中一个故事讲述了拉马努金病重，哈代去看望他。 哈迪对他说：“我是坐出租车来的，车牌号是1729，这个数字真无聊，希望不是不祥之兆。” 拉马努金回答道：“不，相反，这是一个非常有趣的数字。它可以表示为两个两个正整数的立方之和（1729 = 1+12= 9+10）。在所有满足的数字中这个条件，1729是最小的。”
拉马努金（1887-1920）和哈代（1877-1947）
数学中有许多有趣的定理和公式。 例如，数学分析中有不同形式的中值定理、格林公式、斯托克斯公式等。 以斯托克斯公式为例，它描述了集合内的积分可以转换为集合边界上的积分。 斯托克斯是英国数学家和物理学家，在流体力学的数学理论方面做出了基础性工作。 数学七大千年难题之一是关于NS方程的解。 NS方程以他和法国数学家纳维的名字命名。
斯托克斯 (1819-1903)
在复变函数中，一个有趣的结论是解析函数两点之间沿不同路径的曲线积分相等，这就是著名的柯西定理。 柯西是法国数学家、物理学家。 他提出了极限的定义，并对微积分的严谨性做出了重要贡献。 数学上的很多成果都是以他的名字命名的，如柯西不等式、柯西韦斯特公式、柯西留数定理等。目前人工智能和机器学习中广泛使用的梯度法也是从柯西提出的最速下降法发展而来。
柯西 (1789-1857)
数学中有很多变换也很有趣。 通过这些变换，我们可以将一个函数变成一个看起来与其本身完全不同的函数。 比较著名的变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换、小波变换等。但不要低估这些变换，它们往往在其他科学和工程领域发挥着关键作用。 例如：傅里叶变换广泛应用于信号处理、图像处理等领域。从数学上讲，傅里叶变换将一个函数转换为一系列周期函数。 从物理角度来看，傅里叶变换的本质是将信号或图像从时/空域转换到频域，其逆变换则是从频域转换到时/空域。 傅立叶是法国数学家、物理学家。 他提供了热传导最基本的数学理论，并推动了微分方程边值问题的研究。 他的名字在数学界也值得记住，因为傅里叶级数、傅里叶积分、傅里叶变换、傅里叶分析等数学概念都是以他的名字命名的。
傅里叶（1768-1830）和傅里叶变换
当然，如果没有几何，怎么能提到有趣的数学呢？ 到了中学，即使是不喜欢数学的学生也会觉得很多几何题很有趣。 2002年北京国际数学家大会上发生了一个关于几何的真实故事。会上有一个有趣的问题：给定一个五角星，在三角形的每个角上做一个外接圆，并证明这五个外接圆圆的交点是圆。 据说在场的世界上最著名的数学家都没有一个能立即提供证明过程（看来中学数学老师比中学数学老师更厉害）。 相传当时的会议主席吴文俊先生在会后用计算机通过数学机械化的方法证明了这一命题。
吴文俊是我国著名数学家。 他在拓扑学方面做出了基础性工作。 他的研究成果被称为“吴氏公式”、“吴氏自然类”、“吴氏嵌入类”等。他吸收中国古代数学的精髓，尝试用计算机证明几何定理，开创了数学机械化的道路。 他发明的数学机械化方法在国际上被称为“吴法”。 这种方法促进了自动推理的发展。 吴先生还荣获国家最高科学技术奖。
吴文俊（1919-2017）与《几何定理机器证明基本原理》
上面的小故事是关于平面几何的。 在立体几何中，它充满了更多的奥秘。 例如：正多面体是指特殊的凸多面体。 它的每个面都是边数相同的正多边形，每个顶点都是边数相同的端点。 正多面体只有四面体、六面体、八面体、十二面体和二十面体。 可以证明其他面数的正多面体不存在。
三维空间中的二维曲面，例如一张纸，具有两个侧面：正面和背面。 如果正面有一只蚂蚁，只要它不翻过边界到另一面，它就永远在正面，无法爬到背面。 德国数学家、拓扑学先驱莫比乌斯构造了一个神奇的拓扑形状。 他将一张纸扭转180°，然后将两端拼接在一起，创造出著名的莫比乌斯带（环）。 ）。 莫比乌斯带的神奇之处在于它只有一侧。 当一只蚂蚁从纸带上的任意一个地方出发，沿着纸带的方向爬行时，它就可以遍历纸带的两面。
莫比乌斯（1790-1868）和莫比乌斯带
神奇有趣的莫比乌斯带没有正反面，类似于克莱因瓶，没有内外之分。 克莱因瓶可以看作是莫比乌斯带从二维到三维的延伸。
克莱因瓶
概率论是数学的一个分支，里面有无数有趣的故事。 与概率相关的最常见事件是抛硬币。 硬币正面朝上的概率是 50%。 关于抛硬币的一个有趣的问题是：连续抛硬币，直到连续出现N个正面，然后停止。 抛硬币次数的预期值是多少？ 答案是2-2。 这个神奇的答案其实有一个非常巧妙且简单的推导方法。
美国电影《二十一点》中有一个经典场景：三扇门后面是一辆昂贵的汽车和两只羊。 英雄的任务是选择汽车所在的门。 当他随意指着一扇门后，教授（他知道哪扇门后面有汽车）打开了另一扇门，后面跟着羊。 男主应该指向第三扇门吗？ 这个故事其实是受到美国作家斯托克顿的短篇小说《美女还是老虎？》的启发。 “灵感。 在这部小说中，一位古代野蛮国王惩罚罪犯的方式非常奇怪：他被送到罗马斗兽场，并被要求从两扇相同的门中选择一扇打开。 其中一扇门后面站着一个美丽的女人。 女孩，另一扇门后面有一只凶猛的老虎。 如果罪犯选择了老虎，他就会成为老虎的餐点，这是对他犯罪的惩罚； 如果罪犯选择了美女，他就会被判无罪，不仅会立即被释放，而且还可以拥抱美女。
小说中的罪犯有1/2的机会选择美女，而电影中的英雄则有1/3的机会首先选择汽车。 我们再回到电影中的三扇门的问题。 英雄正确的选择应该是换门。 如果他不改变，他拿到车的概率仍然是前面分析的1/3； 但如果他选择改变，由于教授给出的附加信息，他拿到车的概率就会增加到2/3！
斯托克顿 (1834-1902)
另一个与概率相关的令人惊奇的问题是布丰针问题。 布冯是法国数学家和博物学家，但他在大学学习的是法律。 他考虑了一个扔针的实验：在平面上距离d画一些平行线，随机扔出长度L（L
布冯（1708-1788）和针问题
极限也是数学中一个有趣的概念。 它的存在解释了许多所谓的“悖论”。 早在战国时期，庄子在其著作《庄子·世界》中就提到“锤一尺，日可收半，万古不竭”。 意思是拿一根一尺长的木杆，每天砍掉现在长度的一半。 这可以永远重复。 了解极限概念的人自然知道这是现实中的一个悖论。 学过高等数学的大学生应该做过很多关于计算极限的有趣问题。 洛皮达定律可能是计算极限时最常用的定理之一。 洛皮达定律告诉我们：如果两个函数在自变量趋于无穷大时都趋于无穷大，则它们的比值极限等于它们的导数比值的极限。 该定律取自法国数学家洛皮达（Lópida）的名字，他撰写了第一本微积分教科书。
洛皮达 (1661-1704)
如果我们将洛比达定律与我们的现实生活进行比较，我们可以得到以下解释。 假设我们每个人都是不朽的，只要我们不断学习，我们的知识就会积累得越来越多，而且没有上限，也就是趋于无穷大。 这样的话，在比较两个人的知识积累时，根据洛皮达定律，比较的是他们的导数，即知识增加的速度。 这个故事实际上启发我们，作为一场人生累积到无限的长跑，起跑线并不是关键因素。 与后来的无穷大相比，最初的起始差距可以忽略不计。 事实上，长跑本身就是比拼速度和耐力。 “不能输在起跑线上”这句话，在人生的长跑中更显得毫无意义。 希望这篇文章的读者，尤其是孩子和家长，能够明白，无论你的“起跑线”在哪里，只要你在人生中进步得足够快，并保持这个速度足够长的时间，你就可以成功。
关于有趣的L'Hourbid定律，还有一个有趣的轶事：L'Hourbid定律不是L'Hourbid发现的。 据历史记载，洛皮达的老师约翰·伯努利首先发现了这一定律，并写信给洛皮达。 后来洛皮达将这个结果写在了他的书中，所以后人称其为洛皮达定律。 乌尔比德定律的真正发现者约翰·伯努利出身于瑞士数学世家。 他的弟弟雅各比·伯努利给出了极坐标下曲线曲率半径的公式，是概率论的早期研究者。 著名的伯努利数、伯努利多项式、伯努利分布、伯努利大数定律都起源于雅可比·伯努利。
约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利也是一位数学家，但他的研究并不局限于数学，还涉及力学、物理学、天文学、海洋学、植物学等领域。 流体力学中关于压力和速度关系的伯努利定理是由丹尼尔·伯努利发现的。 他也被誉为“流体力学之父”。 当然，除了洛必达定律之外，约翰·伯努利还有一些值得骄傲的东西：世界上最伟大的数学家之一欧拉曾经是他的学生。
雅各比·伯努利（左，1654-1705 年）、约翰·伯努利（中，1667-1748 年）和丹尼尔·伯努利（右，1700-1782 年）
除了数学本身的趣味之外，生活中很多有趣的现象都可以通过数学原理来解释。 例如：搅拌咖啡时，上面的泡沫会停留在某个点，人头上的头发会形成旋转。 这些有趣的现象都可以用数学知识（不动点、向量场）来解释。
你观察过冲泡咖啡的位置吗？
版画编辑｜Livan
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