九年级数学| 高中入学考试复习
几何最小问题的典型题型
解决几何最大值问题的思路
两点之间最短的线段； 连接直线外一点与直线上所有点的线段中，垂直线段最短；
三角形两条边之和大于第三条边或三角形两条边之差小于第三条边（重叠时取最大值）
它是解决几何优化问题的理论基础，根据不同特征进行变换是解决优化问题的关键。 通过变换减少变量，向三定理靠拢，解决问题； 直接调用基本模型也是解决几何优化问题的有效方法。
几何极小问题中的基本模型示例
轴对称最大
图形
原则
两点之间最短的线段
两点之间最短的线段
三角形三边关系
特征
A、B为定点，l为定直线，P为直线l上的动点。 求AP+BP的最小值
A、B为定点，l为定直线，MN为直线l上的移动线段。 求AM+BN的最小值
A、B为定点，l为定直线，P为直线l上的动点。 求 |AP-BP| 的最大值
转变
构造其中一个固定点关于固定线 l 的对称点
先平移AM或BN，使M和N重合，然后做其中一个固定点相对于固定直线l的对称点
构造其中一个固定点关于固定线 l 的对称点
折叠最佳价值
图形
原则
两点之间最短的线段
特征
在△ABC中，两点M和N分别是AB和BC边上的移动点。 沿MN对折△BMN。 B点的对应点是B'。 连接AB'并找到AB'的最小值。
转变
转化为求AB'+B'N+NC的最小值
典型问题类型
1、如图：P点为∠AOB内的某一点。 点M和N分别在边OA和OB上移动。 若∠AOB=45°，OP=
，则△PMN的周长最小值为。
【分析】考虑P相对于OA、OB的对称点C、D。 连接OC、OD。 那么当M、N为CD、OA、OB交点时，△PMN的周长最短，最短值为CD的长度。 根据对称性，可以证明△COD是等腰直角三角形，并据此求解。
【答案】解：构造P关于OA、OB的对称点C、D。 连接OC、OD。 那么当M、N为CD、OA、OB交点时，△PMN的周长最短，最短值为CD的长度。
∵ PC 关于 OA 对称，
∴∠COP=2∠AOP，OC=OP
同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD
∴∠COD=∠COP+∠DOP=2 (∠AOP+∠BOP)=2∠AOB=90°，OC=OD。
∴△COD是等腰直角三角形。
那么CD=
奥克=
×3
=6．
【提问后的思考】
本题考察对称性的性质。 正确画图并理解△PMN最小周长的条件是解决问题的关键。
2、如图所示，当四边形PABN的周长最小时，a=。
【分析】因为AB和PN的长度是固定的，所以只要求PA+NB的长度即可。 问题是PA+NB什么时候最短。
将B点向左平移2个单位至B'点； 绕x轴关于B′画对称点B″，连接AB″，与x轴交于P，确定点N的位置。此时PA+NB最短。
设直线AB″的解析式为y=kx+b，用待定系数法求直线的解析式。 即可得到a的值。
【答案】解：将N点向左移动2个单位与P重合，B点向左移动2个单位至B′(2,-1)。
画出 B′ 的关于 x 轴的对称点 B″。 根据该方法，我们知道点B″(2, 1)，
假设直线AB″的解析公式为y=kx+b，
但
，解为k=4，b=-7。
∴y=4x-7。 当y=0时，x=
，即 P (
,0),a=
．
所以填写答案：
．
【提问后的思考】
考查关于X轴的对称点、两点之间的最短线段等知识。
3、如图所示，两点A、B分别位于直线两侧。 A点与直线AM的距离=4，B点与直线BN的距离=1，MN=4。 P为直线上的移动点，|PA_PB|的最大值是。
【分析】在直线l的对称点B′处画B点，则PB=PB′，故|PA_PB|=|PA_PB′|，则当A、B′、P在一条直线上时, |PA-PB| 具有最大的值。 根据平行线的线段定理可以得到PN和PM的值，然后根据毕达哥拉斯定理可以得到PA和PB′的值，然后得到|PA的最大值_PB| 可以获得。
【答案】解：在直线l的对称点B′处作点B，连接AB′并在P处延长相交直线l。
∴B′N=BN=1,
过D点为B′D⊥AM，
利用毕达哥拉斯定理求AB′=5
∴|PA﹣PB|=5的最大值。
【提问后的思考】
这道题考的是作图——轴对称变换、毕达哥拉斯定理等。熟悉“两点之间最短线段”是回答这道题的关键。
4． 动手操作：在长方形纸片ABCD中，AB=3，AD=5。 如图所示，将纸张对折，使A点落在BC边的A′处，折痕为PQ。 当A'点在BC边缘上移动时，折叠的端点P和Q也移动。 如果限制P点和Q点分别在AB边和AD边上移动，则A′点在BC边上可以移动的最大距离为。
【分析】本题的关键是找到两个极值，即BA′取最大值或最小值时P点或Q点的位置。 通过实验不难发现，当P点和B点重合时，BA'取最大值3，当Q点和D点重合时，BA'取最小值1。因此，A'点的最大距离BC侧可以移动的是2。
【答案】解：当P点和B点重合时，BA′的最大值为3，
当Q点和D点重合时（如图所示），由毕达哥拉斯定理可得A′C=4。 此时BA'的最小值为1。
那么A′点在边BC上移动的最大距离为3-1=2。
所以答案是：2
【提问后的思考】
本题考验学生的动手能力以及图形折叠和勾股定理应用的知识。 难度稍大一些。 学生主要缺乏动手操作的习惯，仅凭想象就会犯错误。
5、如图所示，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，沿EF对折△AEF ，记A点的落点为P。当P落在直角梯形ABCD内时，PD的最小值等于。
【分析】如图所示，经过分析探索，只有当直径EF最大且A点落在BD上时PD才最小。 根据毕达哥拉斯定理，可以求出BD的长度，问题就可以解决。
【回答】
解决办法：如图所示，
∵当P点落在梯形内部时，∠P=∠A=90°，
∴四边形PFAE是以EF为直径的内接圆的四边形。
∴只有当直径EF最大且A点落在BD上时，PD最小，
此时E与B点重合；
由问题：PE=AB=8，
由毕达哥拉斯定理可知：
BD2=82+62=80，
∴BD=
,
∴PD=
．
【提问后的思考】
该命题以直角梯形为载体，以折叠变换为方法，以全等三角形的判定及其性质的应用为核心构建； 解决问题的关键是抓住人物运动中的某一瞬间，动中求静，以静制动。
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