来源 | 中国工控网工控论坛
作者 | 邸景宇，北京工业大学机械工程与应用电子学院博士生
工农业生产和军事国防的需要，促进了自动控制理论和技术的产生、完善和发展。 反过来，自动控制理论和自动控制技术也对工农业生产和军事国防装备建设发挥了巨大的推动作用。 自动控制已成功应用于工业制造过程、机器人技术发展、汽车自动驾驶技术发展、导弹制导与控制系统、无人机飞行控制系统等工程技术领域。
自动控制理论不仅应用于工程技术领域，而且已渗透到经济领域、社会管理领域、生物医学领域等其他领域。 中国著名科学家钱学森曾说过：“控制论作为一门技术科学，对于工程技术、生物与生命现象的研究、经济科学、社会研究等都具有深远的意义。与相对论、量子论在更糟糕的是，我们可以明确地说，从科学理论的角度来看，二十世纪上半叶的三大成就是相对论、量子论和控制论，或许我们可以称之为三大科学革命。这是人类认识客观世界的三大飞跃。”
自动控制理论根据发展阶段和研究内容的不同可分为经典控制理论和现代控制理论两部分。 控制理论的不断完善和发展，推动了控制技术和控制工程的变革，产生了许多新产品和技术应用。 自动控制理论为工程技术、系统设计与开发、机电产品的研发提供了可靠的数学计算方法。 可以说，自动控制理论是整个自动控制行业的核心。 本文基于控制论的思想，用数学方法从新的角度解释经典控制理论中的PID调节器，力求用简单而深刻的语言解释教材中晦涩难懂的表述。 PID控制器，即偏差信号的比例积分微分控制算法，是最早发展起来的控制策略。 由于PID控制算法非常简单，鲁棒性强，可靠性好，在工程技术上易于实现，所以直到现在许多闭环反馈控制环控制策略仍然采用这种古老的经典控制算法。
教材中PID控制算法的数学方程描述如下式（1）↓↓：
相应的传递函数表示为下面的公式（2）↓↓：
PID控制算法是一种基于偏差信号的控制算法。 偏差信号是由传感器不断实时监测被控对象的输出，即调节量的大小，然后以负反馈的形式加载到控制指令信号输入端。 经过比较后形成偏差信号输入PID控制器，从而对被控对象起到闭环反馈控制作用。 图 1 显示了包含 PID 调节器的典型负反馈闭环控制环路的框图。 PID控制器对偏差信号起到比例、积分、微分的作用。 控制器包含三个要调整的参数。 在实际应用中，可以根据不同的参数组合和具体需要得到比例控制器（P）和积分控制器（P）。 I)、微分控制器(D)、比例积分(PI)控制器和比例微分(PD)控制器等。
↑↑图1 包含PID调节器的典型负反馈闭环控制环结构框图
下面从数学分析的角度，以理想粒子模型为被控对象，以被控对象的位置为被调节变量来讲解PID控制器的控制机理，试图让更多的人以简单易懂的方式理解它。深刻的语言。 这种古老而有效的PID控制算法。 图2为理想粒子模型的位置控制图。 控制命令信号为r=0，即期望粒子位置在坐标原点。 不失一般性，假设时间0时粒子的位置位于正半轴的A点。 此时，控制指令信号与传感器检测到的负反馈信号比较产生的偏差信号为e(0)=-A。 因此，比例控制器（P）产生的控制信号为：
上式为0时刻的比例控制信号，式中负号表示产生的控制信号方向为负方向，控制效果是使粒子向负半方向运动轴。 比例控制信号的大小与偏差信号的大小成正比。 可以简单理解为，粒子位置距离期望粒子位置（坐标原点）越远，比例控制信号就越大；反之，则比例控制信号越大。 反之，如果粒子位置距离期望粒子位置（坐标原点）越远，则比例控制信号越小。 比例控制信号的产生与被控对象的当前状态有关，反映了当前状态的控制要求。 在实际应用中，由于控制系统中各环节的惯性和迟滞，单一的比例控制器很难满足控制要求较高的场合。 因此，需要与其他控制器配合来完成控制任务。
↑图2 理想粒子模型位置控制示意图
假设时间0之前有一个无穷小的时间间隔，对应的时间为0时刻，粒子在0时刻的位置为A´或A´´，其中A´´>A>A´>0，参见图3所示PID控制算法的数学解释。粒子的位置是随时间变化的函数P(t)。 对于无穷小的时间间隔 (0-0-)，函数 P(t) 呈直线形式。 因此，经过简单的计算，就可以得到微分控制器（D）的函数。 由此产生的控制信号为：
上式中的小数部分表示粒子位置函数P(t)的斜率。 结合粒子的实际运动过程可以看出，它代表了粒子的运动速度。 上式中的负号代表产生的微分控制信号的方向和粒子的速度方向。 相反。 当粒子在0-时刻的位置为A´时，粒子向远离坐标原点的方向运动，粒子的速度方向为正半轴方向，微分控制信号的方向此时生成的是负半轴方向； 当 0- 粒子此时的位置为 A´´ 时，粒子向靠近坐标原点的方向运动，粒子的速度方向为负半轴方向，此时产生的微分控制信号为正半轴方向。 微分控制信号是一种超前控制信号，可以“预测”被控对象的运动趋势，并对被控对象的运动趋势起到阻尼作用。 它可以减缓控制过程中的振荡，尽快稳定动态控制过程。
↑图3 PID控制算法的数学解释
假设时间0之后有一个无穷小的时间间隔，对应的时间为0+时间，粒子在时间0+的位置为E。可以假设E>0。 由于选择的时间间隔(0+-0)无限小，E点靠近A点，函数P(t)呈直线形式。 经过简单计算，积分控制器产生的控制信号（I）可得：
上式中，梯形的面积代表粒子位置随时间的积分。 对于上述研究模型，由于粒子在正半轴上，所以梯形的面积为正。 考虑到上式中负号的存在，积分控制了信号的方向。 为负方向，控制作用是使粒子向负半轴方向运动。 假设在一定的控制条件下，质点的位置稳定在A点，即系统具有恒定的稳态误差。 此时，随着时间继续增加，积分控制信号逐渐增大，最终可以消除控制系统的稳态。 错误。 积分控制信号是一种滞环控制信号，可以“回顾”被控对象的运动历史，提高控制系统的控制精度。
由于传统PID控制器的突出优点，目前仍广泛应用于各种控制系统和控制任务中，能够满足对控制系统性能的高要求。 PID 控制器不是静态的。 随着被控对象的复杂性不断加深，自适应控制、最优控制、鲁棒控制、智能控制等控制策略被引入到传统PID控制中，产生了新型的现代智能。 PID控制器进一步拓宽了传统PID控制器的应用范围，使经典控制理论和传统控制技术焕发了生机。
来源 | 工业控制论坛
作者 | 狄敬宇
北京工业大学机械工程与应用电子学院 博士研究生
评论列表