“员工努力工作，老板没有发言权。员工创造利润，有权利要求分享。” 这是黄凡金小说《财阀》中工人要求资本家公平对待的口号。 它生动地描绘了社会上的一些不公平现象。 “不公”不仅让受害人感到委屈，也让旁观者愤怒不已。 仁者慈悲，四处奔走呐喊，勇者见路上有不平事，拔刀相助。 但对于一个聪明人来说，我们能客观地决定什么是公平的吗？ 是资本家剥削太多，还是工人要求太多？ 你可能不相信，一个简单的数学公式就能基本理解这个问题，让我们看到全新的画面，认识世界的真相。
有人曾经说过，问题是数学的灵魂。 那么让我们从问题开始吧。 假设有一个资本家（工厂主）、一个工程师和两个工人。 资本家有工厂，但没有工程师和工人，他们就赚不到钱。 如果一个资本家和一个工程师合作，没有工人，那么两个人做一个工人的工作，每个月可以赚3万元。 如果增加一个工人，效率会大大提高，因为工人有体力。 你可以赚6万元。 如果再加一个工人，一个月就可以收入9万元。 但如果只有工厂老板和工人，没有工程师，工厂就无法开工。 现在请问这9万元的利润如何公平合理的分配？ （请注意，这9万元完全是利润。工厂维护、资本利息、股东分红都已扣除。）
工厂老板可能会对工人说：二比一加五，每个月给你们一万五千。
工作人员可能会回答，那不是太黑了吗？ 我们每个人每个月为工厂“纯”赚3万元。 为什么不给我们每人两万呢？ 这样你仍然可以免费分享我们劳动创造的20000利润。 为什么要贪心呢？
工厂老板会说：笑话，我都不给你工作，更不给你一万五千，你一分钱也赚不到。 如果我给你一万五千，你得不到足够的支持！ 然后就发生了争执，工人说工人说得对，主说主说得对。 这么聪明，你会站在哪一边呢？ 我们可以用理性来解决这个分配问题吗？ 在继续阅读之前，我希望您暂时关闭这篇文章，闭上眼睛思考一下如何解决这个问题。 先自己想一想，然后再看答案，是提高数学兴趣和技能的重要规则。
你想过吗？ 那我就先告诉你答案吧。 比较公平的分配应该是工厂老板和工程师各得到35000元，两名工人各得到10000元。 不公平？ 不，没有比这更公平的法律了。
在讲数学之前，我们可以先看看这个问题的广度和深度。 几乎所有的经济问题都与这个问题有关。 医院赚钱多，医生、护士、技师、警卫都缺一不可。 他们如何分配这笔大笔资金？ 学校校长、教师、职员和工人之间的待遇应该有什么区别？ 当学生的论文发表时，教授应给予多少学分？ 此外，作为社会的一员，我们还可以思考我们应该缴纳多少税，领取多少工资。 一切权利的基础也应该建立在公平的基础上。 我不会亏待别人，但我也不允许别人亏待我。
沙普利公平三原则
首先我们要明白，只有合作，才会有分配公平与不公平的问题。 否则，你在你的阳关路上打猎，我在我的独木桥上钓鱼，吃山吃水，各顾各的，就不存在分配不均的问题了。 现在令 ω 为一项可以多人协作的工作，S 代表可以参与该工作的人员集合。如果 U 是 S 的子集，则
代表U人合作时可以获得的工作利润。以之前的工厂为例，那么
如果U={工厂老板，工程师}，
（1万元），若U={厂主、工程师、工人A}，则
，如果U={工厂老板，工人A}，那么
，为了简单起见，让S中的元素用1,2,…,n编码，即
。制作
表示成员 i 在 ω 上工作应获得的报酬。 舍普勒在 1953 年的论文中制定了三项公平原则。
原则一：报酬与名字无关，只与每个人的贡献有关。 也就是说，如果 i 和 j 互换而不影响 ω，
。
没有人会反对这一原则，即同工同酬。 如果张三能做到李四所做的事，那么张三就能得到李四的报酬，而且与他的名字是张三还是李四无关。
原则2：利润属于工人，
致所有人
成立。
这也是一个公平的原则。 U人获得的利益自然会分配给U人。
原则3：如果有两份工作
，但
这对所有 i 都适用。
这也是无人反对的公理。 如果我做两份工作，我会得到两美分的工资。
奇怪的是（在Xie的原论文中，他也称其为奇怪）。有了这三个原则，我们可以发现
。
定理（Shapley）：根据以上三个原理，如果对于所有
给定，那么
唯一的解决办法是
s = U 中包含的元素数量，
U-{i} 表示 U 减去成员 {i}。
虽然这个定理的证明不长（大约两页纸，高中代数水平），但这里不再重复。 有兴趣的读者一定可以在本文的参考文献中找到它。 另外，下面对式(1)进行直观的分析。 即使不检查证明，大多数人也会相信（1）是一种公平分配方法。为了理解这个公式的用途，让我们计算一下工厂主的补偿，让
S={1,2,3,4}
1、2、3、4依次代表工厂老板、工程师、工人A、B。 U是S的子集，总共24=16。 它可以细分如下：
(1) 空集和包含一个元素的集合都使用
(2) 包含两个元素的集合为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)。其中仅
，其余全为0，并且
(3) 包含三个元素的集合为 (1,2,3), (1,2,4), (1,3,4), (2,3,4)，其中
和
(4) 包含四个元素的集合只有(1,2,3,4)
因此找到
同样可以这么说
现在如果有人要说这个分布不公平，那就太迟了，因为一旦你承认了Scheple的三原则，剩下的推导就无可辩驳了，比如a+b=b+a等等。 数学公理。 而舍普勒的原则似乎是无懈可击的。 因此，我们不得不承认3.5:3.5:1:1是一个公平的分配。
从另一个角度看式(1)，我们发现
表示U加上{i}时增加的（边际）利润，即{i}给U带来的利润。而rn(s)表示在所有1,2,...,n中出现的概率安排时，{i}可以保持s位置上的前后成员不变，因为s是U中包含的元素数量，即{i}成为U中最后一个成员添加的概率。因此，(1 )代表成员{i}给S组带来的边际利润的期望值，这自然应该是{i}收到的奖励。 似乎很难解释清楚，我们来看一个例子。 因为前面的例子4!=24有点太大了，我们在前面的例子中减少一个worker，看看(1)的分布是什么。 同时也可以比较一下少一个工人对大家收入的影响。 现在S={1,2,3}依次代表工厂老板、工程师、工人A。 表1左侧显示了这三个数字的所有排列。 第二、三、四列代表在这种安排下每个人带来的边际利润。 以第一行排列1 2 3为例。 厂主先到，但无法开工，所以他带来的利润为0。工程师第二到，他与厂主合作可以获得3万的利润，所以他的边际利润为3（不完全是由于），但算上他带来的东西），工人终于来了，他又带来了三万的利润。 所以，这三万是记在工人名下的。 因此，在第一排，每个人带来的利润是0,3,3，但是我们没有理由让厂主先到。 这3个的排列！ 应该有平等的机会（公平，对吧？）。 因此，平均而言，每个人带来的利润，即他们应得的报酬是2.5,2.5,1。 表1的最后三列表示该表与方程(1)之间的关系。 如果仔细比较的话，你会发现（1）代表了这些排列产生的平均值。
安排
U含有1
123
{1}
132
{1}
2/6
213
{2,1}
1/6
第312章
{3,1}
1/6
第231章
{1,2,3}
第321章
{1,2,3}
2/6
和
15
15
平均值(总和/6)
2.5
2.5
表 1：{i} 的边际利润
如果我们将表1的结果与之前两名工人的结果进行比较，我们会发现，新增的工人B和原来的工人A同工同酬（很合理吧？），并且都拿到了工资1万元，却造成了另外2万元的利润被工厂和工程师吞掉了（你觉得工人很倒霉是不是？后面还有更倒霉的事情，如果真的公平的话。）因此，无论是通过三个原理推导，还是通过（1）式1推导，都是直观的。 我们发现公平分配并不像我们想象的那么困难。 舍普勒看到这一点的能力成就了他的大师地位，他的公式也成为数理经济学的支柱。
Tse 定理的一些有趣的结果
如果工作不能增加利润，那么他的报酬应该是0。这个人被称为假人，因为对于假人来说，我，
总是 0，所以
在上述问题中，我们看到工程师和工厂老板获得相同的报酬，这似乎与事实不符。 在大多数工厂，工程师并没有得到与工厂老板相同的待遇。 原因是，正常情况下，工程师不止一名，尤其是当工程师供过于求时，他们的身价就会直线下降。 假设S={工厂老板、工程师A、工程师B、工人A}，他们的代码仍然是1、2、3、4。 但只需一名工程师就足够了。 这个时候，如果厂主雇了其中一个人，还付给他两万五千吗？我们看一下公式（1）
的结果。
(1) 对于空集和包含一个元素的集合，
(2) 对于两个元素组成的集合，只有
不是0。
(3) 对于三个元素的集合，仅
不是0（U(1,2,3)-U(1,3)=3-3=0，因为另一位工程师B先到了，工程师A的工作被毁了。）
(4) 对于四个元素的集合
因此，工程师A的报酬应为
引用原则一，或者再引用一遍，我们可以看到，工程师B的公平收入也是0.75，两者相加只有15000，实际上比一个人原本能拿到的25000少了10000。 这显示了供应过剩的可怕结果。 多一个工程师不仅不能增加工程师的收入，还会拖累同事。 原因自然是工厂主有底气，不怕找不到工程师，可以议价。 但这个事实能从公平三原则中反映出来，真是数学的奇迹。 现在看看资本家和工人能从中获利多少。稍微计算一下我们可以得到
可以看出，大部分的利益都被工厂主获得了，但工人也因为工程师的数量而身价小幅上涨。 按理来说，如果工程师多了，他们的价值就会再次下降。 事实证明，工程师之所以能与资本家势均力敌，是因为工程师只有一名。 当然，如果只有一名工程师和两家工厂，他的价值就会增加，而工厂老板的报酬就会减少。 但一般社会，资本家少，工程师多，劳动者多。 因此，工人能拿到的公平工资是惨的可想而知。
公式（1）的推导确实很精彩，但不幸的是（幸运的是）一般情况下并不容易计算，因为
包含S中的所有子集，有2n个。 当n稍大时，计算量就会压垮计算器。 但在某些情况下，特别是当成员的能力基本相同时，表1的排列方法可以简化到可以计算的程度。 这是一个例子。
假设一个鸟商请村里的人给他养鸟，每户人家都会养一只。 到了购买的时候，他宣布只能成对购买鸟，每对一千美元。 村里的人聚集在一起数了一下，发现公鸟有110只，母鸟有90只，可以卖9万元。 为了防止雄鸟养殖场闹事，全村人齐心协力，决定将它们全部卖掉。 于是，他收到了9万元，并放生了20只雄鸟。 现在的问题是如何“公平”地分配这笔钱。 养雄鸟的家提倡平分，即每只鸟价值9万/200=450元，但养雌鸟的家认为稀有的东西更有价值。 雌鸟之所以活得少，一定是比较难饲养，所以应该多给一些。 一时之间，争议再次出现。 如何解决？如果我们根据谢普勒原则来看待公平性，那么由于鸟只有两种，我们可以发现
式中[y]表示y的整数值，n1为i所属类别的鸟类数量，即如果i是雄性，则n1=110，如果i是雌性，则n1=90 ，n2是另一类鸟的数量，n=n1+n2。 用计算器计算得出，雄鸟单价为109元，雌鸟单价为876元。 所有雄鸟的身价仅为雌鸟的6.5倍。 事实上，如果稍有不平衡，价格差异就会惊人。 如果男性102人，女性98人，单价比为1：1.82，这与物以稀为贵的事实相符。
记得几年前，台湾适婚年龄的男性比女性多，女孩的身价是女性的一百倍。 现在女性似乎比男性多，单身市场看涨。 然而，人类世界的情况非常复杂，我们不能像小鸟一样对待每个男孩和女孩都是平等的。因为每个人的条件都不同，所以每个人的公平地位并不容易从（1）（2n子集和
？），条件好的男女并不介意自己有多少情敌。 但公式（1）至少可以解释一个重要的现象。 轻微的不平衡就会产生巨大的价差。
事实上，虽然人们不知道公式（1），但这种现象早已深入人心。 每个人都想改变自己的环境，使式（1）对自己有利。 当供过于求时，人们曾将粮食、牛奶、羊毛倒入大海，以抬高价格。 以鸟类为例，如果提前商量好雄鸟，秘密放生20只，对大家养雄鸟都有好处。 （放出30只鸟会更有利，此时雌鸟只值201元，雄鸟价值773元。虽然只剩下80对鸟，但对雄鸟有利，但这需要合作。只有你自己放鸟，你可能一分钱也拿不到。）各行业防止供过于求，利用许可证、工会、帮派、码头等来限制人数。 而大家都知道，进入一个行业，成为不可或缺的人。
然而，也有一些人不喜欢不公正，却想破坏公平。 有些人违反第一原则，利用各种关系，使奖励与名字相关。 他是我的儿子，报酬自然会增加。 有些违反了第二条原则。 ，没事的人也可以编个名字，弄点钱。 当然，最糟糕的是鼓励生产力不足的人去抢劫，这严重破坏了公平分配。
一些想法
从公平原则的角度来看，社会上最聪明的人似乎并没有得到应有的报酬。 如果这些不可或缺的企业家和发明家遵循舍普勒的公式，他们的报酬可能会令人难以置信。 大的。 所以，我们以后伸冤的时候，应该想到公式（1）：从公平的角度来说，到底是全世界承担我的错，还是我承担全世界的错？
Shapley 的原文发表于 Shapley, LS (1953) “A value for n-person games”, in “Contributions to the Theory of Games”, Vol. 11。 二、埃德。 作者：HW Kubn 和 AW Tucker，普林斯顿大学出版社。
一些最近的进展值得关注
“沙普利价值：纪念劳埃德·S·沙普利的论文”，1988 年，编辑。 作者：AE Roth，康布里奇大学出版社。
Shapley 1953 年的论文也包含在本书中。
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