教师小结：正方形数“9”的特点及特点

教师总结：学生从不同的角度观察正方形，结合不同的着色方法，用不同的计算公式来表达正方形数字“9”。 那么，这些计算的规则是什么？

图1-4

2.发现数列和平方数之间的关系

师：今天我们主要学习第二种方法。 我们一起观察一下这一系列数字有什么特点？

（1）告诉我，观察公式（1+3+5=9），你发现了什么？ 三个加数有什么特点？ 每两个加数之间有什么关系？

（2）想一想，观察图2中色块的排列，第一个色块中有一个色块，第三个色块有多少个？ 如何计算？

引导学生发现这些数字是“奇数”； 每两个数之差为2（学生说这是一个等差数列）（黑板：奇数列）； 这些数字是通过数转数得到的（学生用手比划），第三个色块转动时，可以看成3个横的和3个竖的和，减1（一个重叠），公式可以计算为5=3×2-1，即“边长乘2减1”。 ；他们的结果都是“9”。

（设计意图：《数字与形状》例一是研究“连续奇数之和与‘平方数’（即平方数）之间的关系”。如何让学生体验一系列数字之间的关系而平方数呢？我让学生“退”到“一个数”的学习上，先让学生选择，然后解释选择的理由。第三个数字“9”不像“1”和“4”那样太简单，也不是因为数字太大而很难找到图中的变化规律。）

2.探索图片组并总结规律

图5

师：同学们说得很好，那么我们在第三个方格中找到的数列在其他方格中是否也能找到呢？

1.方法的推广应用（图5）

(1)给第二个和第四个方格涂上颜色，并写出公式。

（2）课件呈现：①1+3、②1+3+5+7。

（3）你能快速说出他们的结果吗？

这些是边长为 1、2、3 和 4 的正方形。您可以发现：公式 1 等于 1 的平方，公式 1+3 等于 2 的平方，公式 1+3+5 等于 3 的平方，公式 1+3+5+7 等于 4 的平方。

（4）根据上述规则，当正方形为5×5、6×6、7×7……时，你能不画图，直接写出计算并快速说出结果吗？

2. 确定序列的第一项、最后一项和项数

（1）观察下面的计算并思考，这些数字序列有什么共同点？ （图7）

（2）独立思考、小组交流、全班反馈：

序列中的第一个数字是什么？ 如何获取序列中的最后一个数字？ 每个序列中有多少个数字（项数）？ 怎么知道？ （正方形的边数）

图6

（设计意图：规则的发现，是通过对个体、具体物体及其关系的观察、比较，找到制约因素，然后通过归纳、解释确定规则。发现平方数“9”与等差数列，教师引导学生思考：这种思维和计算方式是否可以“推广”到其他数学计算中？引导学生通过观察一组数列不断探索、解释、验证和发现共性。位置，从而得到序列规律）。

3、通过“线”和“面”连接规则

1. 扩展并探索 10×10 的正方形。

（1）如果这样排列下去，第10个数字可以用哪一列数字来表示？ 最后一个数字是多少？

（2）观察公式1：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10=10的平方，公式2：1+3+5+……+(2×10 -1) = 10 的平方，你发现了什么？

2. 扩展并探索n×n 个正方形。 第n个图形可以用哪一列数字来表示？ 结果如何表达？ 得到：1+3+5+…+(2n-1)=n 平方。

（设计意图：任何规律往往会孕育出更普遍的规律，规律的发现意味着很多相关问题可以得到解释和验证。因此，本环节的目的是培养学生推广应用的意识。并使得学习知识从“点”开始，拉长“成线”，最后用“成面”，从探索3×3方格的数量开始，到数n×n方格，从简单到复杂、探索数列规律的数字与数字之间的关系，有效渗透数字形状与数学思维方法的结合，培养探索数学规律的能力和思维能力）。

【洞察力】

数字与形状的结合是数字表示与图像表示的相互转化。 它不仅是一种重要的数学思维方法，也是数学教学方法和教学策略。 推理是数学的基本观念和思维能力。 推理可以借助数字和形状的组合使抽象思维变得可见和有形。 《数与形》例一的拓展，是一个由“退”变为“进”的学习过程。

1、聚焦“一个数”研究，用简单驾驭复杂。

本例题从对“数”的探索开始。 它基于数学问题的条件与结论之间的内在联系，从数退到形式，将数学关系的精彩描绘与空间形式的直观形象和谐地结合在一起。 由具体到抽象，由易到难，从师生的互动碰撞中得到启发，发现规律，在细化“一”的过程中，用“形”展现“数”，用“数”来表现“数”。数”带来“数”“形”，学习探究方法，为拓展奠定基础。 研究“一个数”的过程也体现了数学思维中“用简单驾驭复杂”的思想。

2、拓展“系列号”的研究，并将其与应用联系起来。

学生在解决问题的过程中，掌握设计与配色、自由表达、归纳推理等探索规则的方法。 在“退”的基础上，把研究“一个数”时发现的规则和学习方法在“一排数”中应用和拓展，将数学知识连成一张网，使“退”成为更好的“进”。 “退”时，学生从繁杂的材料中找到最本质的数学模型，并利用具体问题将其与数学模型联系起来。“入”时，学生拓展数学模型的应用，从“一”开始。 ，并生成“他者”，寻找“相似之处”，从而形成一条“以退为进”的学习探究路径，为学习“数与形”相关知识的进步提供基础。

【主要参考】

[1] 司妙儿. 于正强. 《《浙江省中小学学科教学建议》小学数学案例解读》。 [M]浙江教育出版社，2015，214-215。

[2] 高树柱. 《这样教小学数学》（第二版）。 [M] 华东师范大学出版社, 2021, 29-30.

放轻松：心理趣味图片

你看到有多少人在休息？

审稿人：赵成、周珊珊

标签： 数学