写在前面：
新学期的知识已经结束，同学们想必已经进入紧张的复习阶段，为即将到来的期末考试做准备。 那么今天老师为九年级学生整理了一份初中数学上册常见考试知识点汇总。 期末考试复习高分必不可少，我们一起来整理一下。
21.1 单变量的二次方程
知识点-二次方程的定义
等号两边都有整数、仅包含一个未知数（单变量）且未知数的最高次数为 2（二次）的方程称为一变量的二次方程。
注意几点：
① 仅包含一个未知数； ②未知数的最高度为2； ③ 是积分方程。
知识点2：二次方程的一般形式
一般形式：ax2+ bx + c = 0(a ≠0)。 其中，ax2为二次项，a为二次项系数； bx为线性项，b为线性项系数； c 是常数项。
知识点 三个二次方程的根
使二次方程左右两边相等的未知数的值称为二次方程的解，也称为二次方程的根。 方程解的定义是方程求解过程中求根的基础。
典型例子：
1、已知x(m+)x+(m-3)-1=0的方程是一变量的二次方程。 求 m 的值。
21.2 降阶——求解单变量的二次方程
21.2.1 制备方法
知识点一：用直接平方根法求解一变量的二次方程
(1) 如果方程的一侧可以转化为含有未知数的代数表达式的平方，而另一侧是非负数，则可以直接取平方根。 一般来说，对于x2=a（a≥0）形式的方程，x1=,x2=可以根据平方根的定义求解。
(2) 直接平方根法适用于求解 x2=p 或 (mx+a)2=p(m≠0) 形式的方程，如果 p≥
，可以使用直接平方法。
(3) 使用直接平方根法求一个变量的二次方程的根。 你必须正确应用平方根的性质，即有两个正数的平方根，并且它们互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根。 (4) 使用直接平方根法求解一变量的二次方程的步骤是：
①移动物品；
② 使含有未知数的方程的二次项系数或平方项系数等于1；
③ 两边直接开平方，将原方程变成两个单变量的二次方程；
④ 求解一个变量的线性方程并求原方程的根。
知识点 求解一变量二次方程的二分法
将一个变量的二次方程化成完全平方形式来求解的方法称为组合法。 公式的目的是降阶，将一个一变量的二次方程转化为两个一变量的一次方程来求解。
匹配方式的一般步骤可以概括为：一班、二分、三匹配、四开口。
(1) 将常数项移至等号右侧；
(2) 方程两边同时除以二次项系数； (3) 等式两边加上线性项系数的平方的一半，使左边成为完全平方数；
(4) 如果等号右边是非负数，则直接取平方根求方程的解。
21.2.2 公式法
知识点：用公式法求解一变量的二次方程
(1)一般来说，对于二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若b2-4ac≥0，则方程的两个根为x=。 这个公式称为二次方程的解。 根公式，利用根公式，我们可以直接从一个变量的方程的系数a、b、c的值求出方程的解。 这种求解方程的方法称为公式法。
(2)二次方程根公式的推导过程是利用组合法求解二次方程一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。
(3)用公式法求解一变量二次方程的具体步骤：
①将方程转化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a转化为正值②确定式中a，
对于b和c的值，注意符号；
③求b2-4ac的值；
④若b2-4ac≥0，则将a、b、c、b-4ac的值代入公式求解。 如果 b2-4ac<0，则方程无实根。
知识点2：一变量二次方程根的判别式
公式b2-4ac称为方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式。 通常用希腊字母△表示。
即△=b2-4ac.△>0，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等实根
一变量的二次方程△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实根
21.2.3 因式分解法
知识点：利用因式分解法求解一变量的二次方程
（1）将二次方程的一侧改为0，另一侧分解为两个线性因子的乘积，然后转化为求线性方程的两个解。 这种求解方程的方法称为因式分解法。
(2)因式分解方法的详细步骤：
① 移动项目，将所有项目向左移动，将右侧改为0；
② 将方程左边分解为两个因子的乘积。 可用的方法有公因数、平方差公式、完全平方公式；
③ 令各因子为零，得到一变量的线性方程；
④ 求解一变量的线性方程，得到原方程的解。
使用适当的方法求解单变量的线性方程
方法名称
理论基础
适用范围
直接打开方式，
,,,,,,,,,,,平方根的含义
形式为x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)
制备方法
完全平方公式
一个变量的所有二次方程
公式法
制备方法
一个变量的所有二次方程
保理
当ab=0时，则a=0或b=0
一侧为 0，另一侧很容易分解为两个线性因子的二次方程。
21.2.4二次方程的根和系数之间的关系
如果二次方程x2+px+q=0的两个根是x1和x2，则x1+x2=-p，x1x2=q。
如果二次方程a2x+bx+c=0（a≠0）有两个实根x1,x2，则x1+x2=,x1x2=
22.3 实际问题和二次方程
知识点：解决一系列二次方程应用题的一般步骤：
（1）复习：是指读题，弄清题意，明确哪些量是已知量，哪些量是未知量，以及它们之间的等价关系。
（2）假设：指对元素进行假设，即假设未知数。
(3)列：将方程列化是关键步骤。 一般是先找到一个能够表达该应用题完整含义的等式，然后列出代数表达式来表达这个等式关系中的各个量，然后得到一个包含未知数的方程，即方程。
(4)解：求解方程，求出未知数的值。
（5）验证：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义并与问题的含义一致。
(6)答案：写出答案。
知识点：两列和一维二次方程的几种常见解题类型
(一)数量问题
三个连续的整数：如果中间的数是x，那么另外两个数分别是x-1和x+1。
三个连续的偶数（奇数）：如果中间的数是x，那么另外两个数分别是x-2和x+2。
三位数的表示方法：假设百位、十位、个位的数字分别为a、b、c，则三位数为100a+10b+c。
(2)增长率问题
假设初始数量为a，终止数量为b，平均增长率或平均减少率为x，则两次增加或减少后的等价关系为a(1)2=b。
（三）利润问题
利润问题中常用的等式关系有：
①利润总额=销售总价-成本总额；
②利润总额=单位利润×总销量；
③利润=成本×利润率
(4)图形面积问题
根据图形的面积与图形的边长、高度等相关元素之间的关系，将图形的面积用包含未知数的代数表达式表示，一个变量的二次方程为已确立的。
中考复习
1.（2017年四川绵阳中考）关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根分别为-2和1，则nm的值为（C）
A.-8 B.8 C.16 D.-16
2、（2017年新疆中考）已知关于x的方程x2+xa=0的一个根为2，则另一个根为（A）
A.-3 B.-2 C.3 D.6
3.（2017年河南中考）二次方程2x2-5x-2=0的根是（B）
A. 有两个相等的实根 B. 有两个不相等的实根
C. 只有一个实根 D. 没有实根
4、（2017年青海西宁中考）若x1和x2是二次方程x2+3x-5=0的两个根，则x2+x1的值为15。
5、（2017年内蒙古赤峰中考）若关于x的方程x2-4x+2m=0有两个不等实根，则m的取值范围为m0，即m>-； 从根与系数的关系可以看出x1+x2=2m+3，所以2m+3=m2，我们得到m1=-1，m2=3，所以m=3。
8、某地专卖店有核桃出售，收购价40元/斤。 如果按照60元/公斤出售，平均每天可以卖100公斤。 后来经过市场调研发现，单价每下降2元，每天的平均价格就会是100公斤。 销量可增加20公斤。 如果店家想通过销售这种核桃平均每天盈利2240元，请回答：
（一）核桃价格每公斤应降低多少？
（2）在日均利润不变的情况下，为了尽可能让利于顾客，赢得市场，商店应该按原售价打多少折扣？
（1）假设每公斤核桃的价格要降低x元。 根据问题的意思，我们得到
(60-x-40)=2240。
化简，我们得到x2-10x+24=0。
求解得到x1=4,x2=6。
答：核桃价格每公斤要降低4元、6元。
（2）由（1）可知，每公斤核桃价格可降低4元或6元。 因为要尽可能让利于顾客，所以每公斤核桃的价格要降低6元。 此时售价为60-6=54（元），所以100%=90%。
答：商店应该按原价10%的价格出售。
第22章 二次函数及相关典型题知识点总结
第 1 部分 基础知识
1. 定义：一般来说，如果 是常数，则称为二次函数。
2.二次函数的性质
(1)抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴。
(2) 函数图像与 之间的符号关系。
①此时抛物线开口向上的顶点为其最低点；
②此时，抛物线开口向下的顶点为其最高点。
(3) 以坐标原点为顶点、以轴为对称轴的抛物线的解析公式。
3. 二次函数的图形是对称轴与轴平行（包括重合）的抛物线。
4. 二次函数可变换为：
形式，何处。
5、二次函数从特殊到一般可分为以下几种形式：
①； ②; ③； ④； ⑤.
6. 抛物线三要素：开口方向、对称轴、顶点。
①的符号决定了抛物线的开口方向：此时开口向上； 此时开口向下；
值越大，抛物线的开口越小； 值越小，抛物线的开口越大。
②与轴平行（或重合）的直线记为。 特别地，轴被记录为直线。
7. 顶点决定抛物线的位置。 对于几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，则抛物线的开口方向和开口大小完全相同，但顶点的位置不同。
8.求抛物线顶点和对称轴的方法
(1) 公式法：，
∴顶点是，对称轴是直线。
(2)组合法：用配方法将抛物线的解析式转化为 的形式，得到顶点为(,)，对称轴为直线。
(3) 抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，因此连接对称点的直线的垂直平分线就是抛物线的对称轴，并且该轴与对称轴的交点为抛物线的对称轴。对称性，抛物线是顶点。
只有用组合法求出顶点，然后用公式法或者对称性来验证，才能万无一失。
9. 在抛物线中，
(1)确定开口的方向和尺寸，与中完全相同。
(2)并共同确定抛物线对称轴的位置。 由于抛物线的对称轴是直线
，所以：当①时，对称轴为轴线； ②（即符号相同）时，对称轴在轴的左侧； ③（即符号不同）时，对称轴在轴的右侧，“左同右异”。
(3)的大小决定了抛物线与轴线的交点位置。
此时，∴抛物线与轴只有一个交点(0,)：
①、抛物线经过原点； ②、与轴线相交于正半轴； ③、与轴相交于负半轴。
10、几种特殊二次函数的图像特征如下：
函数解析表达式
开口方向
对称轴
顶点坐标
然后
向上打开
然后
向下开口
（轴）
(0,0)
（轴）
(0, )
(,0)
(,)
()
11、利用待定系数法求二次函数的解析公式
（1）通式：给定图像上三点或三对的值，通常选择通式。
(2)顶点公式：如果图像的顶点或对称轴已知，通常选择顶点公式。
(3)交点公式：图像与轴的交点坐标已知，通常采用交点公式：。
12.直线与抛物线的交点
(1) 轴与抛物线的交点为(0, )。
(2) 与轴平行的直线与抛物线只有一个交点（，）。
(3)抛物线与轴线的交点
二次函数的图形与轴的两个交点的横坐标就是二次方程对应的两个实根。 抛物线与轴的交点可以通过相应二次方程的根的判别式来确定：
① 抛物线与轴线相交的交点有两个；
② 有交点（顶点在轴上）且抛物线与轴相切；
③没有交点，抛物线与轴分离。
(4) 平行于轴的直线与抛物线的交点
与(3)一样，可能有0个交点、1个交点和2个交点。 当有2个交点时，两个交点的纵坐标相等。 假设纵坐标为 ，则横坐标为 的两个实根。
(5) 一次函数的像与二次函数的像的交点由方程组的解的个数确定： ① 当方程组有两组不同的解时，有两个交点点； ② 当方程组只有一组解且只有一个交点时； ③当方程组无解且无交点时。
(6) 抛物线与轴的两个交点之间的距离：如果抛物线与轴的两个交点是，由于 和 是方程的两个根，所以
中考复习
1.（2017年天津中考）已知抛物线y=x2-4x+3与x轴相交于A、B点（A点在B点左边），顶点为M平移抛物线，使得点M平移后对应的点M'落在x轴上，B点平移后对应的点B'落在y轴上，则平移后的抛物线的解析式是 (A)
Ay=x2+2x+1 By=x2+2x-1 Cy=x2-2x+1 Dy=x2-2x-1
2.（2017年四川成都中考）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示。 下列说法正确的是（B）
abc0
B.abc>0,b2-4ac>0
abc
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