高考必考：列一元二次方程解应用题的特点

91百科网 2024年04月13日 12:03:28 50 0

1. 使用一变量的二次方程求解应用题的特点

列出二次方程解应用题是列出一次方程解应用题的延续和发展。从列出二次方程解应用题的方法来看，列出二次方程解应用题和列出线性方程解应用题与列出线性方程解应用题是一样的。非常相似。由于一个变量的线性方程的未知数是线性的，因此大多数此类问题都可以通过算术方法来解决。如果未知数呈二次方，则使用算术方法将非常困难。由于未知数是二次的，因此可以使用二次方程来解决面积问题、两次增加后的平均增长率问题以及涉及乘积的数学问题。一些问题，商业决策问题等等。

2. 使用单变量二次方程解决应用题的一般步骤

就像通过建立一元一次方程来解应用题一样，通过建立二次方程来解应用题的一般步骤也是：“复习、建立、列出、求解和回答”。

（一）“复习”是指理解问题，复习其意义，厘清已知与未知，以及它们之间的数量关系。这一步是解决问题的基础。您可以使用辅助表格来帮助阐明数量关系。

(2)“假设”是指要素的成立。假设分为直接建立要素和间接建立要素。所谓直接建立要素，就是问假设什么。虽然间接建立单元的未知数不是我们所要求的，但由于并联方程是有益的，所以间接设置单元也是非常重要的。要素设置是否恰当、灵活，直接影响方程组和解方程组的难度；

(3)“列”是指列出方程。这是非常重要的一步。列出方程就是找出问题中的等价关系，然后根据这个等价关系列出包含未知数的方程，即方程。找到等价关系的方程是解决问题的关键，但如果第一步（“回顾”）明确了数量关系，建立方程并不困难。

(4)“解”是指求所列方程的解；

（5）“检验”是检验的意思，分为两部分：一是检验得到的未知值是否是方程的解；二是检验得到的未知值是否为方程的解。二是测试是否符合实际情况（特别注意隐含条件），特别是一个变量的二次方程一般有两个根，检查是否都满足

（六）“答”是指写出答案，答案要详细、规范，并注意单位

3.一些常见问题的解答技巧

（一）数与数的关系

两位数=（十位数）×10+个位数

三位数=（百位数）×100+（十位数）×10+个位数

（二）“双”

“双倍”是指原来金额的2倍，“四倍”是指原来金额的4倍。

(3)平均增长率问题

等增长率的 n 次增长/衰退问题的基本方程为：

（四）产品销售问题

与二次方程相关的商品销售问题一般直接或间接给出线性函数关系，我们常常将此视为“突破”

4. 用方程解应用题的要点

许多老师在解释方程解决实际问题时注重寻找等价关系。然而，通过Leo先生与孩子的深入接触，他发现，如果把重点放在寻找对等关系上，就会变得困难。 Leo老师认为，用方程解应用题的关键是要明确数量之间的关系，因为只要明确了数量之间的关系，等价关系就“唾手可得”了。常用的辅助工具有：辅助工具表、线图，尤其是辅助表最常用，线图常用于解决行程和工程问题。

5. 常见类型

[类型1]产品销售问题

基本工具：

① 销售价格-购买价格=利润

②单件利润×销量=利润总额

③单价×销量=销量

突破：找到并利用问题中的线性函数关系

1、某商店以30元购买了一件产品。试销时发现，该产品的日销量P（件）满足每件销售价格X（元）的关系：P=100-2 该产品的销售价格应该是多少？该产品每天售出多少件？

【解析】直接给出线性函数关系

题目直接给出了一个线性函数P=100-2X，所以我们可以设置每个产品的售价为x元，每天的销量为（100-2x）件。结合辅助表分析数量关系：

请注意，这里有一个隐含的条件：销量P≥0，即100-2x≥0，且x≥0，所以0≤x≤50，所以必须检查得到的根是否满足上述条件。

2、水果批发市场经销高档水果。如果每公斤利润10元，每天可以卖500公斤。市场调查发现，如果收购价格不变，每公斤价格上涨1元，每天的销售量就会减少20公斤。现在这个产品每天必须保证6000元的利润，同时给客户带来实惠。每公斤价格应该上涨多少？

【解析】间接给出线性函数关系

高考必考：列一元二次方程解应用题的特点一元二次方程一次函数第1张

根据“每公斤价格上涨1元，日销量将减少20公斤”我们可以找到日销量P与涨价金额X之间的函数关系，P=500-20X，所以我们假设每公斤要涨x元，则日销量为（500-20x）公斤，涨价后每公斤利润为（10+x）元。根据“单件利润×销量=利润总额”，可得出公式：（10+x）（500-20x）=6000①

请注意这里的隐含条件：销量P≥0，即500-20x≥0，我们得到x≤25

解方程①：x=5或x=10

为了让客户得到实惠，所以x=5

【类型2】平均增长率问题

基本工具：

3、2001年青山村水稻平均产量为每公顷7200公斤，2003年为每公顷8450公斤。水稻每公顷产量年均增长率是多少？

【分析】

4、某产品价格为400元/件。两次降价后价格为324元/个，两次降价比例相同。

(1) 找出该产品每次降价的百分比；

（2）若该产品进货价格为300元/件，两次降价期间共销售该产品100件，则使两次降价销售利润总额不低于3210元，第一次降价后，这款产品至少卖出了多少件？

【分析】

(2) 假设该产品第一次降价后售出 m 件，则第二次降价后售出 (100−m) 件该产品