注：在道格拉斯·亚当斯的《银河系漫游指南》中，一台名为 Deep Thought 的巨型超级计算机经过 750 万年的计算，计算出“生命、宇宙和一切的最终答案”是 42。 为什么是42？ 很多人都试图回答这个问题。 事实上，古希腊哲学家毕达哥拉斯认为，万物的起源是数。 他认为数先于事物而存在，万物的属性都可以归结为数的规定，如比例关系、有限与无限关系等。 此外，社会生活中也经常出现数字的隐喻类比。 当数字化如此彻底地席卷我们的生活时，这种关系似乎变得更加深刻。
在《算法之美》中，美国畅销书作家克里斯汀和认知科学家格里菲斯告诉我们，数学不仅是宇宙的终极答案，数学还可以解决人类生活中面临的具体问题。 租房、整理衣柜、选择餐厅、时间管理……都可以通过算法解决。 最优停车规则、时间安排规则、贝叶斯规则等，这些规则看起来可能很难，但实际上它们甚至可以用来寻找停车位！ 这本书告诉我们如何更有效地运用我们的直觉，什么时候把选择交给命运，在不知所措时如何做出选择，以及如何有效地与他人保持联系。
经出版社授权，界面文化（ID：BooksAndFun）从中精选了部分章节，以飨读者。
37%：另一个神奇的数字
文字| 布莱恩·克里斯蒂安·汤姆·格里菲斯
所有的基督徒都会在结婚请柬的正面郑重声明，他们步入婚姻的殿堂是遵循上帝的特殊安排。 不过，我想从哲学的角度详细讨论一下这个问题……
——约翰内斯·开普勒
如果你认为马丁先生是最好的人选，如果你觉得你和他相处得最好，那你为什么还要犹豫呢？
——简·奥斯汀《艾玛》
对于在中学就已经建立恋爱关系的新生来说，感恩节是一次严峻的考验：回家短暂的四天假期后，许多恋人就分道扬镳了。 大学辅导员将这种普遍现象称为“放弃火鸡”。
布莱恩在大一时就遇到过这个问题。 他的高中女友在另一所大学。 相距遥远的两个人不仅需要解决距离带来的麻烦，还需要认真思考一个问题：他们之间的感情到底有多深？ 他们从来没有考虑过这个哲学深度的问题。 由于他们没有类似的感受可以参考，所以他们无法回答这个问题。 因此，焦急的布莱恩找到一位辅导员并向她寻求帮助。 辅导员知道这是新生面临的典型问题，所以用极其冷淡的语气给出了建议：“先收集一些数据。”
显然，在持续一夫一妻制的生活方式中，人们不可避免地会遇到一个非常重要的问题：必须接触多少人才能确定自己的理想伴侣？ 如果您在收集数据时错过了“Mr. Right”该怎么办？ 这似乎是人际关系中无法解决的“第22条军规”。
我们知道，这个让新生担心和抱怨的“第二十二条军规”，其实就是数学中的“最优停止问题”，而它的答案其实很简单，就是37%。
当然，前提是你愿意对爱情做出各种假设。
在所有最优停止问题中，最大的困难不是选择哪种替代方案，而是确定需要考虑多少种替代方案。 这些问题往往会导致不同的后果。 不仅是谈恋爱的人和需要租房的人必须慎重考虑，司机、房主、窃贼等也常常面临同样的选择。
“37%规则”起源于所谓的“秘书问题”——最著名的最优停止问题类型。 秘书问题的情况与我们之前考虑的租房问题非常相似。 假设一群人申请秘书职位，而你是面试官。 您的目标是从众多申请人中选择最佳候选人。 您不知道如何对每个申请人进行评分，但您可以轻松判断哪个申请人是更好的候选人。 （用数学语言解释，也就是说，你只能看到序数，即申请者相互比较的排名，但看不到基数，即在通用评分标准下的分数。 ）您遵循随机顺序，每次采访采访一个人。 申请人。 你可以随时决定把这份工作交给其中一个人，另一个人就会接受，面试就结束了。 但一旦你拒绝了其中一位申请人，你就不能改变主意并回到那个人那里。
在选择秘书时，太早或太晚开始选拔过程都可能导致不良结果。 太早停止，最好的申请者还没有机会出现； 停下来太晚了，你就会把这份工作留给一个甚至不存在的更好的申请人。 想要达到最好的效果，显然需要在两者之间找到最合适的平衡点。 在选择的时候，既不能犹豫，也不能仓促放弃。
如果找到最好的申请人是您的唯一目标，那么在整个面试过程中，您将不会接受任何不是可用申请人中最佳候选人的人。 然而，仅仅满足“迄今为止最好”的条件并不足以说服面试官。 例如，第一申请人无疑符合这个要求。 一般来说，我们有理由相信，随着面试过程的继续，找到“最佳可用”申请人的概率将继续下降。 例如，第二个申请人是迄今为止最好的申请人的概率是50%，第五个申请人的概率只有1/5，第六个申请人的概率只有1/6，以此类推。 因此，随着面试的进行，迄今为止最好的申请者必然会大放异彩（记住，根据定义，这个申请者比之前所有的申请者都要优秀），但这种可能性在不断减少。
因此，欣然接受你看到的第一个也是最好的应聘者（即面试完第一个应聘者后就结束面试过程）显然是太仓促了。 当总共有100个应聘者时，你不能因为第二个应聘者比第一个应聘者优秀而急于选择他，因为这种做法也有点仓促。 那么，我们应该做什么呢？
直观上，我们可以找到几种方法来处理这个问题。 例如，当第三个（或第四个）申请人表现优于所有先前的申请人时，给他工作机会。 或者，如果出现一系列不满意的申请人，请毫不犹豫地接受迄今为止最好的候选人。
但事实证明，这些相对合理的策略都不是最明智的。 事实上，最有效的做法就是拥抱所谓的“先看后跳”规则：提前设定一个“观察”期，在这段时间里，无论候选人有多优秀，都不要接受（即也就是说，您的任务是检查目标并收集数据）。 “观察”期结束后，进入“行动”期。 此时，一旦出现令之前最好的申请者相形见绌的候选人，请毫不犹豫地立即采取行动。
在考虑申请人数很少的情况下的秘书问题时，“先了解情况再采取行动”的原则就会自然而然地浮现出来。 如果只有一名申请人，问题就很简单——接受她的申请！ 如果有两个申请人，无论你如何选择，你成功选到好候选人的概率都是 50%。 你可以接受第一个申请者（此时是半场排名最高的申请者），也可以拒绝她，拒绝第一个申请者就意味着接受第二个申请者（也是半场排名最高的申请者）。 人们）。
如果有第三个申请人，情况就突然变得有趣了。 如果随机选择一名申请人，获得期望结果的概率为 1/3，即 33%。 对于两个申请人来说，没有什么比机会更能取得更好的结果了。 那么当有三个申请人时会发生什么呢？ 事实证明，我们能取得更好的成绩，关键就在于第二次面试。 当我们采访第一位申请人时，我们没有任何信息——她一定是最好的申请人。 在面试第三位申请人时，我们没有任何优势——我们必须向这位申请人提供工作机会，因为我们已经拒绝了其他人的申请。 然而，当我们面试第二个申请人时，我们有一些信息和一定的代理权——我们知道谁比第一个申请人更好和更差，我们可以接受她也可以不接受她。 拒绝她。 如果她比第一个申请者更好，我们接受她，但如果她比第一个申请者更好，如果我们拒绝她会怎样？ 事实上，当有三个申请人时，这是最理想的情况。 令人惊讶的是，这种方法在有三名申请人时和有两名申请人时同样有效，并选出了最好的中轮候选人。
当有4个申请人时，在穷尽所有可能的情况后，我们会发现在面试第二个申请人时我们仍然应该采取行动； 如果总共有5个申请人，我们应该等到面试第三个申请人时才采取行动。
随着申请者数量的不断增加，观察和行动之间的分界线恰好在所有申请者的37%处，这就导致了37%规则：在查看前37%的申请者的同时，不要接受任何人的申请。 ; 那么，只要任何一个申请者比之前所有的候选人都优秀，他就应该毫不犹豫地被选中。
事实证明，使用这种最佳方法，我们选择最佳申请人的概率为 37%。 解本身恰好等于期望结果的概率，这是此类问题的奇怪的数学对称性。 上表列出了申请人数不同时秘书问题的最优解。 由此可以看出，随着申请者数量的不断增加，达到预期结果的概率（以及观察期切换到行动期的时间点）在37%左右。
即使是最理想的解决方案也有 63% 的失败率，这是一个令人震惊的事实。 即使我们在面对秘书问题时采取了最理想的行动方针，在大多数情况下我们也会失败，也就是说，我们在大多数情况下无法从所有候选人中选出最好的申请人。 对于那些认为爱情就是找到“Mr. Right”的人来说，这确实是个坏消息。 不过，这也不全是坏消息。 直觉告诉我们，随着申请者数量的不断增加，选择最佳申请者的概率会稳步下降。 例如，如果我们采用随机选择，当申请者总数为 100 人时，获得期望结果的概率为 1%，而当申请者总数为 100 万时，概率降至 0.0001%。 然而令人惊讶的是，秘书问题的计算并没有改变。 如果使用最优停止理论，在 100 人中选择最佳申请人的概率为 37%。 而当总人数为100万时，无论你信不信，得到想要结果的概率仍然是37%。 因此，申请者总数越多，最优算法理论就越有价值。 诚然，大多数情况下大海捞针都是徒劳的，但无论“海洋”有多大，最优停止理论都是最理想的工具。
自秘书问题首次提出以来的几十年里，人们研究了各种场景，并根据不同条件提出了几种最优停止策略。 例如，他们对可能被拒绝的问题提出了一个简单的数学答案：尽早接触多个潜在客户。 如果拒绝的概率是 50%，那么导致 37% 规则的数学分析过程会告诉您，当您完成选择过程的四分之一时，您应该准备好求婚。 如果被拒绝，当找到下一个最佳候选人时再次提出，直到提案成功。 使用此策略，总体成功概率（即向所有候选人中的最佳候选人求婚并被接受）仍然为 25%。 按照自己的标准寻找爱情本来就很困难，再加上被拒绝的劣势，25%的成功率已经算不错的结果了。
此外，人们经常修改秘书问题的其他先决条件，使其更类似于现实生活中的问题，例如寻找爱情（或选择秘书），从而导致秘书问题的更多变体。 然而，最佳停止问题的影响超出了约会和招募的范围。 其实，在租房子、找停车位、情况好的时候选择合适的离开等问题上，我们也需要面对一个又一个的选择，做出最有利的选择。 在某种程度上，这些问题都得到了解决。
（本文节选自《算法之美》第一章《最优停止理论：如何准确选择停止观望的时机？》，有删节。）
………………………………
欢迎您在微博上找到我们，请点击这里。
您也可以关注我们的微信公众号“界面文化”【ID：BooksAndFun】
评论列表