杨振宁1922年9月22日出生于安徽省合肥市。按照中国传统，这位物理学大师在2021年9月迎来了百岁生日。杨振宁22岁时赴美留学。 32日，他与罗伯特·米尔斯合作发表了“杨-米尔斯规范场”理论。 35岁时，他与李政道因宇称不守恒理论获得诺贝尔物理学奖。 81岁时，他正式回到中国。 成为清华大学全职教授。 他与麦克斯韦、爱因斯坦、费米、陈省身等大师一起，在纠缠、分裂和组合中谱写了当代数学和物理学不断发展的传奇。
杨振宁2008年的这篇演讲，向我们展示了一个世纪以来数学与物理的分离与融合。
2021年9月22日，杨振宁在清华大学举办的“杨振宁先生学术思想研讨会——祝贺杨先生诞辰100周年”上讲话。图片来源：清华校友会
杨振宁 撰稿
在中国传统中，人们讲“书画同源”，意思是书画同源； 那么我们也可以说，数学和物理在历史上也是同源的。 比如说微积分，当然大家都知道它是数学的一个关键的基础发展。 它是由牛顿对万有引力的研究发展而来的。 事实上，牛顿在研究万有引力定律时，出现了一个数学问题。 他花了十多年的时间试图解决这个数学问题。 后来的解决方案是微积分。
数学分析和动力学也一起发展：在牛顿工作之后，当数学家和物理学家想要研究行星、卫星（如月球）和潮汐定律时，就发展出了牛顿发展起来的微积分和万有引力定律。 一些伟大的数学家，如皮埃尔·西蒙·拉普拉斯和约瑟夫·路易斯·拉格朗日，发展了数学分析和动力学，因此这两个学科一起成长。
但自19世纪末以来，数学变得越来越抽象。 1961年，有一位美国著名数学家，名叫马歇尔·斯通。 我在芝加哥大学读研究生时，他是芝加哥大学数学系主任。 他极大地提高了芝加哥大学数学系的地位。 所以现在芝加哥大学的人说，当时1950年代和1960年代初是芝加哥的马歇尔·斯通时代。 他在1961年发表了一篇半流行的文章，文中说了几句话：“1900年以来，数学以及我们关于数学的一些概念发生了非常重要的变化（他说发生了非常重要的变化），这正在成为越来越抽象），而最革命性的发展是数学根本不涉及物理世界，更明确地说（这是他的话），“数学与物理世界绝对没有联系”。当时数学发展的整个趋势就是研究一些数学结构之间非常美丽、奇妙的关系，所以在中间。 20世纪，数学和物理完全分离。
半个世纪前的情况与今天完全不同。 我想和大家聊的是这段分离的关系是如何重新走到一起的。 要谈这个问题我们还得回到詹姆斯·克拉克·麦克斯韦。 麦克斯韦是19世纪最伟大的理论物理学家。 他在 19 世纪中叶写出了著名的麦克斯韦方程组。
他将之前关于电和磁的四个实验定律写成四个数学方程（下图）。 这些方程是当今电力、无线电和网络通信时代的基础。 如果没有这些方程式，今天的人类生活就不会是今天的样子。
△ 麦克斯韦方程
1915年至1916年，爱因斯坦发表了广义相对论，将引力理论变成了几何理论。 文章发表后，他又写了一篇文章，说还有一种力，电磁力，也必须几何化。
一两年后，一位名叫赫尔曼·韦尔的数学家响应了爱因斯坦的号召。 韦尔被普遍认为是 20 世纪最伟大的数学家之一。 他的工作领域是纯数学，非常抽象。 但他大胆提出了关于电磁学的理论。
1949年我到普林斯顿高等研究院做博士后，当时他是高等研究院的教授，所以我见过他很多次。 但当时我和我这一代物理学家感兴趣的领域与赫尔曼·韦尔当时感兴趣的数学并没有关系，所以我们只是在鸡尾酒会上和他进行了一些交谈。 。 在我的记忆中，我从未与他讨论过任何学术问题。
1918年和1919年，韦尔发表了几篇文章。 他认为他已经找到了一种将电磁学几何化的方法。 他首先讨论平行运动。 这是爱因斯坦几何中的一个重要思想。 平行运动是什么意思？
假设我在平面上画了一个圆，然后从A点往回走。在A点，我画了一个向量（一个箭头），然后当我行走时，我试图让这个向量与我自己平行。 就这样往回走，当然还是原来的方向。 但这只是因为我处于平坦的表面上。 如果我在曲面上画一个圆，比如球体，从一个原点A开始，在那个地方放一个向量，然后在移动的时候尽量让这个向量与自己平行，那么你可以想象旋转回来后从圆来看，矢量不一定与其原始方向相同。 因此，在曲面上，平行移动的矢量可能不会返回到其原始方向。
于是韦尔问道：“Warum nicht auch seine Lnge？” （德语：为什么长度不能同样如此？）如果是这样的话，“为什么向量的长度不能也改变？” 也就是说，如果向量的长度也在移动的过程中不断变化，那么回到原点A。既然向量的方向可以不同，为什么它的长度就不能也不同呢？ 这是他的核心思想。 为了实现这个想法，他表示，在下图中，从A到B，尺子的长度一路上不断变化。 变化因素如上图所示。 他给这个因子起了一个很长的名字，应该翻译过来就是“比例因子”。 他说这个因子中的φμ应该是电磁势eAμ。 然后他说，虽然搬家后有些数量发生了变化，但仍然有一些数量没有变化。 这些不变的量是真实的电磁现象。 这样，他就赋予了电磁现象以几何意义。
韦尔将他的理论称为 Masstab 不变理论。 这个名词后来被翻译为规范不变性。
他将文章提交给德国普鲁士学院出版。 普鲁士科学院请爱因斯坦审阅这份手稿。 爱因斯坦提出了一个大问题，一针见血。 他说，如果我把两把长度相同的尺子放在A处，其中一根尺子会从一条路径走到B，另一把尺子会从另一条路径走到B。根据韦尔的理论，当它们到达B时，这两个尺子会从一条路径走到B。不会一样。 它必须是相同的长度。 那么它原本是一把标准尺，但是后来哪一把成为了标准尺呢？ 如果你不能制造一把标准的尺子，你就不能做任何物理实验，整个物理学就会崩溃。 这实在是一个尖锐的批评。
幸运的是，编辑们仍然发表了韦尔的文章，并添加了爱因斯坦的后记来表达他的批评。 然后我让威尔写了一篇后记，放在最后。 韦尔在这篇后记中是如何解释法的呢？ 后记很短，就一段话，说爱因斯坦说的和他说的不一样。 但他并没有解释清楚有什么区别。 他后来写了很多文章，都是没有公式的哲学讨论。 显然，他仍然对自己的想法充满热情，但他始终无法回应爱因斯坦的反对意见。
六年后，量子力学的发展解决了这个问题。 量子力学和刚才讲的发展没有任何关系。量子力学是人类历史上的一场伟大革命。 开发出来之后，发现它需要用在基础物理上。
。 学过高中数学的人可能还记得这个i。 它在量子力学之前就出现在物理学中，但它不是基础，只是一种工具。 量子力学发展起来后，它不仅仅是一个工具，而是一个基本概念。 没有人能解释为什么基础物理学必须使用这个抽象的数学概念：虚数i。 下面我将回到这一点。
量子力学是从1925年到1926年发展起来的。一两年后，前苏联的弗拉基米尔·福克和德国的弗里茨·伦敦分别指出，必须在威尔原来的长名字的因子上加上一个i。 上。
加上一个i之后，原来是尺子长度的变化，现在不是长度的变化，而是相位的变化，所以韦尔因子就变成了相位因子。 加上i之后，Weyl的思想与电磁学完全一致，成为1929年以来大家完全认同的理论。当然，有了i，Gauge Theory（规范理论）其实应该改个新名字：Phase Theory（相理论），规范不变理论也应该改个新名字：相不变理论。 但由于历史关系，今天大家还在使用。 保留旧名称。
将长度变化改为相位因子变化后，爱因斯坦的反对意见将不复存在。
1929年以后，大家一致认为从规范场理论的角度看待电磁现象是一个美丽的数学观点，但它并没有带来任何新的物理结果。
1946年至1948年，我是芝加哥大学的一名研究生，我非常欣赏韦尔规范不变理论的美妙之处。 我尝试对其进行概括，将电磁势 Aμ 概括为 2x2 方阵 Bμ。 这个想法导致了前几步计算，非常成功。 然而，当推广到电磁场Fμν时，又推导出了一个又长又难看的公式，所以我不得不搁置这个想法。
在接下来的几年里，许多新的基本粒子被发现，它们的相互作用成为热门话题。 我认为规范不变性可能是相互作用的普遍原理，所以我又回到了上面提到的韦尔规范不变性理论的推广。 这次又遇到了同样的困难，再次尝试后不得不放弃。 每两年重复一次，但没有取得任何进展。
1953年到1954年，我访问了美国布鲁克海文国家实验室一年，并与一位年轻的物理学家罗伯特·米尔斯共用一间办公室。 我们一起来讨论一下这个问题吧。 当然，我们又遇到了同样的困难。 但这一次我们没有放弃，在推广电磁场Fμν时尝试对公式稍作修改。 这个想法确实有效。 几天后，利用下面的公式，所有冗长的计算自然就被简化了，得到了一个非常漂亮又非常简单的理论！ 这就是现在所谓的“非阿贝尔规范理论”的开始。
△规范理论中的一个公式
我们的理论发表于1954年，但无法被当时新粒子的实验结果所证实。 十多年后，通过许多人的努力，引入了另一个新概念，称为“对称性破缺”。 只有将对称破缺与非阿贝尔规范理论结合起来，才能与实验一致。 在接下来的几十年里，数千次实验证实了这一理论与实验完全一致。 它今天被称为标准模型，是基础物理学的重要基石。 今年将在瑞士日内瓦建造的大型加速器LHC是研究标准模型的最新大型设备。
20世纪70年代，我总结了这一切发展的精神，说是“对称决定相互作用”：因为规范不变性实际上是一种对称性，一种圆对称、晶体对称、左右对称。 相似的概念，但更深刻、更抽象的对称性。
1969年，当我在纽约州立大学石溪分校任教时，我教授了一个学期的广义相对论。 有一天，我在黑板上写下了广义相对论中著名的黎曼张量公式。 当时我就觉得这有点像上面我熟悉的公式。 课后，我仔细比较了两者，最后发现，如果某些数学符号匹配正确的话，它们不仅仅是相似，而是一模一样。
△上面是规范论公式，下面是广义相对论中的黎曼张量公式。 它们是完全相同的。
这个发现让我震惊：原来规范论和广义相对论的数学结构是如此相似！ 我立即下楼到数学系找到系主任吉姆·西蒙斯。 他是我的好朋友，但我们以前从未讨论过数学。 那天他告诉我，毫不奇怪，两者都是不同的“纤维束”，这是 20 世纪 40 年代以来数学界的热门新发展！
后来，西蒙斯花了两周多的时间向我们几位物理学家解释纤维束理论。 学习了纤维束的数学意义后，我们知道它是一门非常博大而美丽的知识，电磁学中的很多物理概念本来就有对应的纤维束概念。 于是在1975年，我和吴大军共同写了一篇文章，用物理学的语言来解释电磁学和数学家的纤维束理论之间的关系。 文章中我们列出了一个表，它就是一个“字典”。 表格左边是电磁（即规范理论）名词，右边是对应的纤维束名词。
字典左边有“源”这个词条，但右边没有对应的词条，因为西蒙斯说这个概念在纤维丛理论中不存在。 后来，美国麻省理工学院的数学家伊萨多·辛格来纽约州立大学石溪分校访问，我和他聊了这件事。 然后他去了英国牛津大学，带来了吴大军和我的文章，并与Michael Atiyah和Nigel Hitchin一起写了一篇关于无“来源”的文章。 由于规范场和纤维束在数学界的声誉，规范场和纤维束之间的密切关系很快就传遍了整个数学界，从而导致了随后几年物理学和数学重新合作的高潮。
20世纪80年代开始，西蒙斯从石溪大学辞职进入华尔街，成为最成功的对冲基金东道主。 2001年，我和聂华通邀请他和他的妻子参观北京的清华大学。 这是他们第一次访问中国。 回国后，夫妇俩捐资逾百万美元在清华大学修建了“陈西蒙斯大楼”。 陈先生即陈胜深教授（1911~2004），数学硕士。 他曾与西蒙斯共同撰写了一篇关于陈-西蒙斯不变量（陈-西蒙斯形式）的文章，该模型现在在物理学中极为重要。
陈省身先生是我父亲20世纪30年代的学生，我是他抗战时期在昆明西南联大的学生。 他在纤维丛理论方面做出了重要的基础工作。 我在1980年发表的一篇文章（译自英文）中说过：
1975 年，我对规范场是光纤束上的连接这一事实感到非常兴奋。 我开车前往陈位于伯克利附近埃尔塞里托的家。 [20世纪40年代初，当我还是西南联大的学生时，陈还是一位年轻的教授，我听过他的课。 那是在陈省身做出历史性贡献普及高斯-博内定理和“陈省份”之前，纤维丛在微分几何中还不重要]。 我们谈论朋友、亲戚、中国。 当我们谈论纤维束时，我告诉他我从西蒙斯那里学到了美丽的纤维束理论和深刻的陈韦尔定理。 我说，让我惊讶的是，规范场只是纤维束上的连接，数学家在不涉及物理世界的情况下就搞清楚了。 我补充道，“你们数学家能凭空想出这些概念，这让我感到震惊和困惑。” 他立即反对：“不不，这些概念不是凭空想象出来的，它们是自然的、真实的。”
今天，没有人会说“数学与物理世界完全没有联系”。 但为什么一个与物理世界无关的“自然而真实”的数学概念如此“对称”，从而“主宰”宇宙中所有的基本“力量”，这恐怕将永远是一个谜。
本文最初发表于《全球科学》2008年第10期，来自微信公众号“科研圈”。 如需转载，请在“研究圈”后台回复“转载”，或通过公众号菜单联系我们。 禁止将相关内容用于营销目的。
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