牛顿说：“每一个目标，我都希望它留在我的眼前，从第一个黎明到第一个黎明，保持它，慢慢展开，直到整个大地都明亮起来。”
爱因斯坦说：“每当我的头脑没有问题可以思考的时候，我就喜欢重新验证我已经知道的定理。这样做没有什么目的，只是让自己有机会充分享受集中思考的乐趣。” ” ”
（一）铺设地砖有助于毕达哥拉斯定理的发现
毕达哥拉斯定理在西方被称为毕达哥拉斯定理。 传说毕达哥拉斯曾受邀参加一位富有的达官贵人的晚宴。 主人豪华的宫殿式餐厅铺着漂亮的方形大理石瓷砖。 毕达哥拉斯盯着脚下的方形瓷砖。 他想到了它们与“数”的关系，于是他拿着画笔蹲在地板上，选了一块瓷砖，以其对角线为边，画了一个正方形。 他发现这个正方形的面积正好等于两块瓷砖的面积之和。 于是他用两块瓷砖拼成的长方形的对角线又拼成了另一个正方形。 他发现这个正方形的面积等于5块瓷砖的面积，即以两块瓷砖为边的正方形面积之和。
此时，毕达哥拉斯做出了一个大胆的假设：任意直角三角形的斜边的平方正好等于另外两条边的平方和。
“勾股定理”的发现给人们的思维方式带来了重大变化。 它告诉人们几何和代数不是两个独立的部分。 两者的融合有着巨大的威力，也给了更多数学家探索和探索的勇气。 看似无关的事物与学科之间的关系。
据说，为了庆祝毕达哥拉斯发现毕达哥拉斯定理，全校宰杀了一百头牛来庆祝这一成就的诞生。 因此，这个定理在历史上也被称为百牛定理。 由此可见当时学校的人有多么疯狂。
（二）神奇的古代算法——霸帝金
“铺锦”的前身是“格乘”。 这种方法最早记载于1150年印度数学家巴什加拉所著的《Lirovati》一书中，12世纪后在阿拉伯地区广泛传播，后来通过阿拉伯人传播到欧洲，很快在欧洲流行起来。 15世纪中叶，意大利数学家帕乔利在其著作《算术、几何和比例性质摘要》中介绍了两个数相乘的计算方法。 格子算法介于画线和计算之间。 这种方法传入中国后，在明代数学家程大为所著的《算法通宗》一书中被称为“普地金”。
“Padding Brocade”算法的计算顺序如下：
1、先画一个矩形，将其分成m×n个正方形（m和n分别是两个乘数的位数），并在正方形的顶部和右侧写上两个因子。
2、然后用对角线将正方形分成两部分，分别记录上述数字对应乘积的十位和个位。
3、然后将这些乘积沿着对角线方向从右下到左上相加，当和达到十时，向前加一。
4、最后得出结果（方块左边和下方的数字按顺序排列）。
1494年，意大利数学家巴切利（Bacelli，1445-1514）引入了八种乘法。 第六个是平方乘法。 平方乘法在15世纪左右传入中国，看起来就像中国古代织的锦缎。 因此，中国劳动人民给这种计算格式起了一个非常形象的名字——“普地金”，明代著名算术著作《算术通宗》中对此有记载。
那么，什么是“铺锦”呢？
以下左图为例：将第一个因数46写在网格图的上方，将第二个因数75写在网格图的右侧，那么，6×7=42的42就写在了6下面的正方形，斜线上面写十位数字4，斜线下面写个位数字2。 同理，4×7=28； 6×5=30； 网格中分别写有4×5=20，如图所示。 然后从右侧开始将同一斜杠中的所有数字相加。 如果最右边的斜杠只有一个0，则在斜杠末尾写0； 如果第二个斜杠中有2、3、0，则和为5。在最后写上5。 如果第三条斜杠中有4、8、2，则和等于14。最后写4。 将 10 进位到第四个斜杠； 如果第四个斜杠有2，则加上传入的1，等于3，就到最后了。 写3。最后，从左到右、从上到下写下3450，所以46×75=3450。
是不是很神奇呢？ 我们来尝试计算一下357*46。
再比如，要计算342×27，被乘数和乘数分别有3位和2位有效数字。 您可以绘制一个三列两行的正方形（垂直的称为列，水平的称为行），并绘制一系列对角线。 在方格上方写上被乘数342，在每个方格上写上一个数字，从右边顶栏开始写上乘数27，然后开始乘法：先将3、4、2乘以2，得到6、8、 4. 将这三个数字分别填入与被乘数和乘数对应数字对齐的方格中，填入方格的下半部分。 然后将3、4、2乘以7，得到21、28、14。将这三个数字依次填入相应的格子中。 在右下半格中填写每种产品的个位数，在左上半格中填写十位数。 填写完毕后，按斜杠将每两个斜杠之间的数字相加，并写在格子外对应的位置上。 如果和超过10，则在网格外只记录和的个位，而和的十位则在前面的斜线之间相加。 （如图中圈出的两个数字）在对前面斜线之间的数字求和时，这些补充数字也必须相加。 全部加法完成后，从左上到右下读取格子外，就是你要求的乘积，即342×27=9234。
（三）数学与艺术的完美结合——精彩的秘密铺垫
1. 蜂巢中的数学
蜜蜂的蜂巢呈正六棱柱状，其底座由三个全等的菱形组成。 为什么是这个形状？ 这样做有什么好处呢？
法国学者马拉迪曾经观察过蜂巢的结构。 经过测量，他发现每个蜂箱的体积差不多有0.25立方厘米。 菱形底部的锐角为70°32′，钝角为109°28′。 蜜蜂的工作是如此精细。 物理学家Leomura也研究了这个问题。 他想推论：底部菱形的两个余角有多大，才能使蜂巢的容量最大化，但他没有继续这项工作。 苏格兰数学家马克·劳克林计算出的数据与之前的观察结果一致。 事实上，早在公元4世纪，数学家帕普斯就用严格的证明告诉我们：正六棱柱蜂窝是最经济的形状。 在其他条件相同的情况下，这种结构体积最大，用材最少。 因此，达尔文盛赞蜜蜂的建筑艺术，称它们是天才工程师。 现在，许多建筑师开始模仿蜂巢的结构，并将其应用到建筑实践中。
2、所有平面图形都可以密铺吗？
密铺，也叫镶嵌，是生活中很常见的现象。 它给我们带来了丰富的图形变化和优美的享受。 什么样的图形才能满足这样的条件呢？
对于正n边多边形，它可以分为(n-2)个三角形。 内角之和为(n-2)*180度，内角的度量为(n-2)*180÷n度。 如果(n-2)*180÷n能整除360，则可以用于平面的密铺，否则不能用于密铺。 从这个角度来看，只有三种类型的正多边形可以在平面上平铺（这就是为什么只有三种类型的平铺）：正三角形； 正四边形； 和正六边形。 普通五边形不能用于平面瓷砖。
1619年，数学家齐白第一个用正多边形平铺平面。
1891年，苏联物理学家费多罗夫发现了17种不同对称的平铺平面图案。
1924年，数学家波利亚和尼格里重新发现了这一事实。
密密麻麻的图案奇妙而美丽。 古往今来，许多艺术家都对这方面进行了研究。 最有趣的一位是荷兰艺术家埃舍尔。 当他去西班牙旅行时，一座名叫阿尔哈姆拉的建筑给他留下了深刻的印象。 这是一座13世纪的宫殿建筑，其墙壁、地板和天花板均由摩尔人建造，并铺有各种美丽的马赛克图案。 他花了几天时间复制这些图案，并受到启发，创造出各种不限于几何图案的铺砌图案。 这些图像包括人、青蛙、鱼、鸟、蜥蜴，甚至是他想象中的物体。 他创作的数学与艺术相结合的艺术作品给人们留下了深刻的印象，也让人们对数学有了另一种看法。
两个或两个以上平面图形可以密集铺贴吗？ 我们已经从上面埃舍尔的作品中找到了答案。 来看看我们学生的作品吧！
在现代生活中，马赛克艺术也很常见。 看看下面的一些马赛克。
3、凸五边形铺地的故事：一位带着五个孩子的妇女发现了13种五边形铺地方式
关于用凸五边形铺平面的问题，经过1918年数学家莱哈特的观点和1968年克什纳的观点后，数学界普遍认为只有8个解，这似乎已经成为一个结论。
1975年，美国人马丁·加德纳在《科学美国人》杂志上开设了关于镶嵌图案的数学游戏专栏，许多数学家和业余数学爱好者参与了讨论。 最热情的参与者之一是一位名叫玛乔丽·赖斯的家庭主妇。 赖斯是五个孩子的母亲，1939 年高中毕业之前只学过一些简单的数学，没有接受过正规的数学专业教育。 除了研究正多边形的平铺问题外，她还研究了一般五边形。 她独立发现了一个五边形，并将这一发现报告给加德纳：“我认为两个边等于黄金分割的封闭五边形将构成一个令人满意的布局。” 加德纳·纳充分肯定了赖斯的研究成果，并向她介绍了多丽丝·夏特斯奈德（Doris Shattersnyder），一位对数学与艺术的和谐有着专业兴趣的数学家。 在Shattersnyder的鼓励下，赖斯发现了更多的五边形来解决平铺问题，使这种五边形的数量达到了13个。
赖斯的家务活很忙，但这并不影响她的研究热情。 她告诉人们：“在繁忙的圣诞节期间，家务占据了我很多时间，但只要我有空闲时间，我就会研究马赛克问题。当周围没有人的时候，我会在厨房的炉灶上画图案。”一有人来，我就赶紧把图案遮起来，因为我不想让别人知道我在学什么。”
在数学的历史长河中，也许马乔里的发现只是一小波浪潮，算不了什么。 但这并不重要。 对于奥运会而言，重要的是参与。 只要你参与，你就会有所收获。 如果你参与其中，你将收获数学之美。 如果你参与，你会很高兴。
现在有十四种凸五边形可以用来铺出平面供学生学习和探索。
五边形的十四个角和边的关系及图案
（表中A、B、C、D、E代表五边形的五个角，a、b、c、d、e分别代表五边形的五个边。）
以上是我多年前收集的14个图案的情况。
为什么没有人提前发现这种密铺新方法呢？ 可见，人类有限的枚举和计算能力限制了更密集铺路方法的进一步发现。 借助计算机枚举，数学家们得到了最新的第15种平面平铺。 为什么这第15种很重要，我认为原因在于它结构的复杂性以及将计算机程序引入到枚举工作中的新思路。 感谢数学家和计算机的辛勤工作，我们有了这张漂亮的图表。 到目前为止，已发现的15种平面瓷砖图形样式如下：
动手实践，在操作中回归数学本源，实践证明，学生可以通过实际操作将抽象知识具体化，使无形知识“看得见”、“有形”，从而提高学习主动性，激发自主探索的内在动力。 这种习惯的养成是一个潜移默化的过程，对于孩子今后养成良好的学习习惯有着积极的促进作用。
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