教大学生微积分真的很难！ 要么是我上课的时候他们听不懂，要么是他们回去做题的时候听不懂。 。 。
近年来，我一直在研究知识表示和《学习科学》的教学应用。 我的观点是：任何知识都可以教给任何人，但最终掌握的目标不同。
于是，我请老师告诉我她是如何教学的。 这位老师就边写边画，给我讲了《积分的中值定理》。 大致内容类似于下面的“百度百科”中的内容（不感兴趣的可以跳过）：
1、“积分中值定理”原理图：
2、“积分中值定理”的表达式：
3、“积分中值定理”的证明过程：
当老师给我解释的时候（重点是证明过程），我彻底糊涂了！ 好在是一对一的，我可以随时打断，告诉她我不明白的地方，让她进一步解释。
你到底不明白什么？
基本上，虽然我知道老师写的具体abc，但是我不知道老师为什么这么写。
特别搞笑的是那一个
符号，我彻底糊涂了（也许在我的理解中，这个声音并不像一个字母，而是像一个“词”的发音）。 这实在是太难为老师了。 这件事她跟我说了四五遍，最后她无奈地说：
这只是一个符号。 您可以使用任何其他字母。 例如，我们可以使用X0来代替。
——我突然恍然大悟。
你看，只是一个小符号，但发音却有点奇怪，没想到把我难住了！
在这里，我想向大家解释一下：我也是一名认真的大学毕业生，我也学过高等数学。 而且我平时很喜欢数学，也经常看科普文章。 所以，并不是我基础数学素养不好，只是时间太久了，这些细节我都忘记了。
也就是说，虽然我已经忘记了所有的细节，但我的基础数学素养，比如我对微积分的理解，绝对比刚进入大学的大学生要好。
可想而知，在自己卡住的这些地方，那些刚刚高中毕业的新生恐怕也好不了多少吧？ ！
一旦我弄清楚我被困在哪里，事情就会变得更容易！ 我对高中数学老师说：
恐怕你的解释不太容易让人理解，因为你是微积分专家，对你来说小儿科的事情对初学者来说就像是天堂一样！ 你得给他找一个通天的梯子，一步步往上爬。
嗯，我觉得我的孩子小学六年级就应该能够学到这些知识了。 我回家后会尝试一下！
回到家后，我把这件事告诉了孩子们。 大体情况如下（下图是我和高中数学老师交流的聊天记录）：
那么，我到底该如何教孩子微积分呢？
下面是孩子讲微积分的视频，我用手机拍的：
【解说】小学生掌握符号微积分并不容易，而且我的时间很有限（只有一次，半个小时），所以这里我只让他们掌握中值定理的“图解推导法”积分和公式的表达。
通过上面的视频，大家应该能够感受到：我家孩子已经基本掌握了吧？
那么，我该告诉我的孩子什么呢？
其实孩子用的方法就是我讲的方法。 他只是在照葫芦画瓢——当然，这还是相当困难的，尤其是用自己的语言表达出来，那就更困难了！
下面，解释抽象知识（任何知识）的要点：
1. 一定要先具体再抽象，而不是相反！
对比“积分中值定理”的知识，重要的是先不要讲公式，然后讲这个公式对应的原理。
当我听高等数学老师讲课时，我感到“我知道老师说的具体abc，但我不知道为什么这么说”。 其中，“不知为何如此说”，其实就是不知道“推导原理”！
我本来就不知道推导原理，所以老师不得不用更陌生、更抽象的符号语言来推导（想想
）。 学生不可能用自己不懂的语言去理解自己不懂的知识！
因此，我们首先要用一种容易理解的方法（即不要使用符号演算）让学生理解推导的原理。 一旦理解了原理，就可以用符号语言和严格的逻辑推理方法来表达原理。 这样，可以有效减轻学生的“认知负荷”，培养学生的思维能力。
以上涉及两个原则，一是“语义语境化”（包括语境第一，语义第二），二是“认知负荷理论”。 这两个理论都是非常有指导意义的教学理论。 老师要想教好课，就必须了解他们！
2.学习新知识的唯一途径就是依靠学生已有的经验！
从视频中可以看到：在我使用的讲解方法中，最重要的是找到小学生与微积分相关的经验。
当时我为什么觉得小学生就应该能够理解积分的中值定理呢？ 因为我觉得推理中使用的逻辑形式在小学已经使用过，可以起到很好的“梯子”（正式术语是“脚手架”）的作用。
学习最基本的概念之一是：
学生只能利用他们之前的经验来解释来自外界的信息。
即使学生的“以前的经历”只是一堆垃圾，也是如此！ 成堆的破铜烂铁不能扔掉，换成一堆法宝。 它们只能通过熔炼来升级。
这是《学习的本质》一书中最鼓舞人心的一点：
《学习的本质》一书是学习科学的最新力作。 虽然有点晦涩难懂，但其中的很多观点和案例都非常独特和鼓舞人心，值得反复深思。 以下是购买链接，有兴趣的老师可以购买看看！
3、“可视化”是快速积累经验、促进思维的最有效方式。
既然学习是将新知识与现有经验联系起来的过程，那么如果学生没有经验该怎么办？
这就需要用到上帝赐予人类的真正“法宝”：视觉。
脑科学向我们揭示了：
视觉具有极其强大的感知和关系分析能力——而且是高度自动化的。 因此，它可以从极其复杂的信息中快速找到信息之间的关联性和隐含的规则，给人的印象会更加深刻。
因此，在给孩子讲解的过程中，我非常注重将一切事物“形象化”——用图像来表达。 这也是小学生能够顺利理解微积分等高级知识的重要原因！
关于“可视化”，我的公众号里已经有很多文章了，比如这篇：。 无需赘述！
综上所述，不知大家是否觉得，如果掌握了正确的“学观”（而不是从“教”的角度），高效的教学将是小菜一碟！
下面列出了文中提到的各种学习理念和教学方法，供大家参考：
如果你想详细了解以上学习理念和教学方法，或者想了解《小学生学微积分》更详细的解读，建议你在线学习我的《基于学习科学的高效教与学方法》课程！
这门课程一定会改变你的教学生涯！
也很有可能会改变你和孩子的人生轨迹！ （这两句话是学生引用的）
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