审查
1. 初始形式
我国兴办小学和教授算术始于清末。 第一个由政府强制实施的学制，即“癸卯学制”，即《学堂章程》（1904年），基本上模仿日本，设计了整个学校教育。 其中，《初中条例》提出算术课程的首要目标是“学会日常计算”； 《高等小学章程》相应的目标仍然是“学会四人必备的算术”。 （“四采”是我国古代平民职业的基本分类，指士（士）、农、工、商，但历代顺序有所不同）
1911年辛亥革命后，在我国第二部公布实施的《壬子癸丑学制》中，《教育部制定小学教学原则及课程》（1912年）将这一目标表述为“熟悉日常计算”。 ”。
清末民初的这个目标很简单，但已经涉及到我们今天所说的两个核心词“应用意识”和“计算能力”。 可以说是这两个核心词在小学数学课程中的最初形式。
当时，算术课程的其他目标主要是“使思维和思维精确”和“使思维精确”，显然只需要两者，并不能称为课程的“核心”要求。
此后，出现了从抄袭日本到学习美国的转变。 民国时期还有一系列其他课程标准，总体目标有四三个。 每次的内涵和表达方式都不同，但强调解决日常生活问题和计算技能却没有改变。
二、新中国成立至20世纪末的变化与发展
新中国成立后，1950年公布的《小学算术课程暂行标准（草案）》显示，“日常应用”和“计算”的教学目标与建国前相比变化不大。中华民国。 最明显的变化是第一次，在算术教学中提出了对孩子思想道德教育的要求：“培养孩子的爱国主义精神，强化科学、爱护公共财产等民族道德”。 这是“改造旧教育”的明显体现，也是主体道德教育的基础。 初步声明。
1952年的《小学算术教学大纲（草案）》将延续了半个世纪的“课程标准”更名为“教学大纲”，并将课程的“目标”改为教学“任务”和“目的” 。 光是这个名字就可以看出从“改造旧教育”到“学习苏联”的转变。 实质性的变化是，首次提出了掌握“直观的几何知识”的要求，还特别提到“算术教学要培养和发展孩子的逻辑思维”。 这就是“推理能力”的最初提法。
1963年《全日制小学算术教学大纲（草案）》明确提出：“小学算术教学的目的是使学生牢固掌握算术、珠算的基本知识，培养学生进行算术运算的能力”。正确、快速地回答四项算术运算的能力，以及初步的逻辑推理能力和空间概念，满足毕业后参加生产劳动和继续深造的需要。 （强调部分作者添加）一方面，它标志着我国小学数学学科进入“双基”时代，开始注重数学学习的“双重功能”，即，适应学生未来的实际需要和学习需要； 另一方面，也标志着我国小学数学教学的“核心词”从三个发展到四个。
同年颁布的《全日制中学数学教学大纲（草案）》指出：“中学数学教学的目的是使学生牢固掌握代数、平面几何、立体几何、三角学和数学等基础知识。平面解析几何，培养学生正确、快速的计算能力、逻辑推理能力和空间想象能力，以满足参加生产劳动和进一步学习的需要。 这段摘录是为了澄清一个错误信息。 所谓数学“三大能力”，指的是中学。 小学自1963年起实行“四大能力”。
1978年《十年制全日制学校小学数学教学大纲（草案）》完成了从“小学算术”到“小学数学”的转变，保留了“四大能力”（仅“解决应用的能力”）问题”改为“解决简单的实际问题”）。 这种情况一直持续到21世纪初。
“四大能力”的表述一直是“空间概念”，自1953年教学大纲（1952年教学大纲修订稿）首次提出以来，在解释几何预备知识的教学作用时一直沿用。 变化最频繁的是“推理能力”，从“准确思维”开始，到“逻辑思维能力”，再到“逻辑推理能力”，又回到“逻辑思维能力”（1978~1992）。 摆现象比较明显。
三、21世纪以来的变化与发展
21世纪初开始的新一轮课程改革丰富了数学教育的内涵，数学课程的核心词汇也不断增多。 首先有六个“数感、符号意识、空间概念、统计概念、应用意识、推理能力”（2001），然后是十个“数感、符号意识、空间概念、几何直觉、数据分析概念、计算能力、推理能力、模型思维、应用意识、创新意识”（2011）。
与之前的大纲相比，核心词的数量：从四个变成了六个，是减法和加法的结合，即去掉了“计算能力”，增加了三个； 从六到十，增加了“计算能力”回来后，又增加了三个。 核心词的表达方式也发生了变化，如“解决简单的实际问题”被“应用意识”取代，“逻辑思维能力”演变为“推理能力”。 当然，更重要的是词语的内涵也在逐渐发展和变化。 这一点在《实用解读》系列中已经有较多解释，本文不再重复。
反射
1、回归生活，要有质的提升
21世纪初启动的新一轮课程改革提出了一系列改革理念。 在小学数学教学中，最快被接受并广泛付诸实践的理念就是“回归孩子的生活”。 因为它是最实用的，一直以来对小学教师来说都是好的，只要我们在原来的基础上多加一点生活气息，为每个例题编一个生活情境，至少就能体现出课程改革的理念。以表达的形式。 老师们的经验总结最集中在“生活数学”上。
例如，使用量角器来测量角度。 你在生活中用过这个技能吗？ 对于“命”来说，无愧于“屠龙功”的称号。
又如，用公式“底×高÷2”计算三角形的面积。 笔者记忆中曾看过研究数据，表明这个公式的实际应用率极低，但又找不到出处。 因此，有的学校被要求在家长问卷中增加一个问题：“您在日常生活和工作中，是否用过‘底×高÷2’的公式计算过三角形的面积？” 200余名各行各业家长询问的有效问卷中，只有1人填写“√”，占比不足0.5%。
我们找一个形成强烈对比的数据：医学研究显示，中国成年人糖尿病前期患病率为50.1%。
面对“<0.5%”和“>50%”这两个统计数据，如果我们说“因为生活中需要用到，所以要教它”，那么不是教三角形面积公式，而是更好地传授糖尿病知识。
但是，我们能不能不教三角形面积的计算呢？ 即使在平面几何中，掌握了三角形面积的计算方法就相当于解决了所有多边形面积的计算问题。 因为任何n边多边形从一个顶点开始都可以分为(n-2)个三角形。
从历史上看，我们的祖先创办学校的初衷就是为了将教学世界与生活世界分开。 因为生活中的自然学习和口口相传已经不能满足社会发展的需要。 教学世界本身就是师生之间教与学的生活。 因此，“让教学回归生活”在理论上不能说是伪命题，但却充满了歧义，“很容易让人误判、误解，甚至误用”。 学术界持续数年的争论，在笔者看来，实际上是源于模糊性。
应该肯定的是，“让教学回归生活世界”的初衷是好的，它表达了人们对真实教学的期待。 但如果不考虑不同学科、不同学校阶段的实际情况差异，就不可避免地造成疏离。
人们常常引用杜威的名言“教育就是生活”，却忽略了杜威的提醒：“现实生活是如此复杂，孩子们不可能接触到它而不陷入困惑。” 因此，“学校作为一个系统，应该简化现实社会生活”，尤其是“将其转化为进一步发展能力的手段和工具”。任何手段或工具都有一定的局限性，生活情境和生活经历也不例外。如何克服外在生活情境形式的干扰，带领学生超越生活经验，进入数学的世界，是教师成熟的标志之一。
在消除负面影响的基础上，观察并认真思考小学数学日常生活的积极意义，即教学功能。 立马就能显露出来的是激发兴趣、调动学习积极性的作用，尤其是那些拟人化的如《喜羊羊》、《灰太狼》等童话情景。 后来我也能感觉到，生活化的处理可以缩短学习内容与孩子体验之间的距离，激活学生的思维。 激发兴趣、激活思维的目的是促进数学理解、数学抽象、数学问题解决。 现新增促进数学活动经验生成、数学思想感知、数学应用意识培养三大功能。 这么多的功能，综上所述，无非是促进当前的数学理解和长远的素养发展。 毕竟，生活导向永远是手段和工具，而不是目的。
这里还有一点补充一下：回归生活必须立足现在，面向未来，这样学生才能为未来的新生活做好准备，面对尚不知道的新工作。
2、持续添加必然会产生累积效应
至于核心词，单从数量上看，百年来，从二到三、四，再到六、十，总体趋势是不断“加”。
同时，课程总体目标由“双基”拓展为“四基”，由“两种能力”（分析问题、解决问题的能力）拓展为“四种能力”（提高“能力”）。发现并提出问题”）。 过去的“软任务”已演变为今天的“硬目标”。 因此，在肯定数学教育正在走向长足进步和发展的同时，我们也必须承认教学要求在不断提高。
实施素质教育，“减负”是必须解决的难题。 《国务院关于基础教育改革和发展的决定》提出“加快建设适应素质教育要求的基础教育新课程体系”，也明确要求“继续减轻学生过重的课业负担”。中小学生。” 改革初衷明确，是构建新课程体系和减负双管齐下。
对于教师来说，我国普遍实行的分班教学，使教师承受一门学科的压力。 但对于学生来说，很多科目增加的要求最终都会传导并集中到个人身上，其结果是不言而喻的。
吸取教训，审视现在，洞察未来。 我们做加法已经有一个多世纪了，现在是时候进入减法阶段了。
外表
1、核心词可以简化吗？
华罗庚教授曾将读书的过程概括为“由薄到厚”和“由厚到薄”两个阶段。 这恐怕是科学研究和实践研究都必须经历的一个过程。 在这个过程中，认识也将随着研究和实践的深入而从博士回归到任职。
十个核心词中，计算能力、空间概念、数据分析概念分别是数与代数、图形与几何、统计与概率三个主要内容领域的核心词； 推理能力和模型思维是这三个内容领域的共同点。 核心词。 如果只保留这五个，那其他五个呢？
虽然计算能力不能完全覆盖数感，但它毕竟是小学生数感的重要生成渠道和主要表达方式之一； 小学几何直觉主要体现在数字和形状的结合上，以空间概念为基础； 模型思维具有固有的应用意识，建模需要并且也培养符号意识。 因此，如果我们回到优先、强调的思维方法，那么相关核心词就可以兼顾数感、几何直觉、应用意识和符号意识。
早在1999年，国务院《关于深化教育改革全面推进素质教育的决定》就明确提出：“实施素质教育……注重培养学生的创新精神和实践能力”。 显然，我们只抓住了两个关键点。 首先，培养创新精神是中小学各学科的共同目标，并非数学所独有。 因此，即使没有特别列出，也应该引起足够的重视。
这样一分析，十个核心词就可以减少一半了。 它们之间的结构和联系可以用三角锥来描述（如下图）：底部三角形的三个顶点对应三大内容区域的核心词，推理能力位于三角形的中心，模型思维位于金字塔的顶端。 。 实线和虚线（反映透视关系）都表示它们之间的联系。
2.核心词有机会演变成核心能力
如果直接将核心词更名为核心能力，未免过于简单化。 核心能力是整体性、综合性、系统性的，需要突出跨学科的共同能力。 进一步，笔者认为：数学核心素养必须体现数学学科的本质，必须具有普遍意义，必须承载学科独特的教育价值。
首先，体现数学学科本质的无疑是数学“抽象、推理、模型”的基本思想
1、这三个基本思想涵盖了数学的产生和发展，以及数学与外部世界的联系，对应了数学高度抽象、逻辑严密、应用广泛的三大特点。 因此，数学在数学的发展中起着关键的核心作用。
其次，抽象、推理和模型思维分别对应三种具有普遍意义的能力，即抽象能力、推理能力和应用能力。 无论是文科还是理科，所有的知识都有不同程度的抽象，从个体到一般或从一般到个体、从个体到个体的推理。 它还有自己的模型，比如语言模型、物理模型、化学模型等等。由此可以说，抽象、推理、模型具有跨学科共同素养的特征。
第三，数学的抽象、推理、模型思想具有其他学科不可替代的教育价值。
数学抽象独特的教育价值在于，学生体验数学抽象，不仅产生数学研究内容，而且让学生学会如何从数量或形状的角度观察和把握周围的真实事物。 这种独特的认识客观世界的方式是每个社会公民不可或缺的基本素质，无论他从事什么职业。
数学推理不同于其他学科的教育价值在于，物理、化学、生物和科学学科都是用事实说话，依靠实验来判断对错。 只有数学才能通过推理来区分真假。 如果一个人只相信眼见为实，而不知道思维的主动性可以通过推理帮助人类突破感官、经验、常识的局限性，那么就是个人素质的重大缺失。
数学建模独特的教育价值在于它是最简化、最定量的模型，是计算机与社会生活各个层面几乎所有领域之间的桥梁。
综上所述，抽象、推理和模型思维构成了数学学科的一级核心能力。 前面提到，模型思维还包含应用意识。 符号意识可以融入抽象，因为符号是数学抽象最重要的语言表示。
同时，这三种最具学科特色的核心能力可以生成三种基本能力，即思维能力、沟通能力和解决问题的能力。 当然是数学思维、数学交流和数学问题解决。 它们之间的一般关系可以简单说明如下：
对应原因：数学思维的本质特征是抽象和推理； 数学交流更注重逻辑和常用模型来表达数学与现实的联系； 数学问题的解决首先是抽象的，比如把实际问题抽象成数学问题。 关键是建模。
计算能力、空间概念和数据分析概念这三个内容领域构成了数学学科核心能力的第二层次。 它们的学科本质、一般意义和教育价值已在《实用解读》系列中单独论述过，不再赘述。
为了直观起见，用三棱柱来描述两个层级之间的层级关系（如上图所示）。 第一层次的三个核心能力整体影响第二层次的核心能力，因此不需要将它们一一连接起来来表达它们之间的联系。
教育部《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准2011年版》）关于“数感”规定如下：
“数感主要是指对数字与数量、数量关系以及运算结果的估计等的理解。建立数感有助于学生理解现实生活中数字的含义，在具体情境中理解或表达数量关系。”
该声明由两句话组成。 前一句侧重于数感的定义，“数感主要是对……的感知”； 后一句重点强调了数感的作用，“Establishing number sensehelps...”。 这两句话的共同点是都是描述数感的表现。
作为课程标准，最好尽可能给出学习行为的绩效评价标准。 然而，一线教师希望看到简单通俗的解释。 这并不过分。
象征意义和象征意识
一、“课程标准”说明
《课程标准实验草案》认为
“符号感主要表现在能够从具体情境中抽象出数量关系和变化模式，并用符号来表达；
理解符号所代表的数量关系和变化规律； 符号之间的转换，并选择适当的程序和方法来解决符号表达的问题。
《课程标准2011年版》修改为
“符号意识主要是指理解和运用符号表示数字、数量关系和变化规律的能力；知道符号可以用于计算和推理，得出的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用符号是一种数学表达方式，也是数学思维的重要形式。”
首先，什么是“符号意识”转变为“符号意识”？
从字面来看，“符号感”似乎强调对符号的感觉、直觉和敏感度，而“符号意识”则强调学生对心理倾向的主动理解和运用。
其次，如果将一个符号视为名词，那么更重要的是考虑该符号所赋予的内涵。
显然，《课程标准实验稿》描绘了象征意义的四种表现形式。 前两种表现形式被《2011年版课程标准》概括为一句话。 值得注意的是，《课程标准2011年版》在这句话中增加了“数字的符号表示”。 可以认为，既指用字母表示数字，又指用阿拉伯数字表示数字。
根据这一认识，小学数学培养学生的符号意识，是从一年级教授的第一个数字1开始的。 可见，修改后的表达表征内涵更加全面，更加贴近小学数学教学实际。
修订后的《课程标准2011年版》中，关于空间概念的段落是
“主要是指根据物体的特征抽象出几何图形，根据几何图形想象所描述的实际物体； 想象物体之间的方向和位置关系； 描述人物的运动和变化； 根据语言描述等绘制图形。”
显然，它比《课程标准实验稿》更加细化和概括。 弄清楚意图，可能是为了突出重点，修剪枝条，强化主干。
在空间想象方面，增加了方位、位置关系的想象，并补充了基于特征的几何图形的抽象。 这里的“特征”显然是指几何特征，这里的“几何图形”可以理解为包括平面图形、三维图形及其三视图和展开图形。
在空间描述方面，仅描述运动变化，不再重复位置关系。
在动手操作方面，重点是绘制图形，省略制作模型。 虽然“制作”是培养空间概念的有效手段，但它毕竟不是数学教育的“核心”。
用图形来描述问题和直观思维，并挑出一个核心词“几何直觉”来强调。 删除了空间分析的要求，与小学数学关系不大。
基于小学数学的实际实践，课程两课文中的“想象”主要集中在空间表征层次的认知、再现和联想上。 可以认为，它主要是一种日常习语，并不是严格意义上的心理学意义上的纯粹的空间想象。 。
《课程标准2011年版》规定：
“几何直觉主要是指利用图形来描述和分析问题。借助几何直觉，可以将复杂的数学问题变得简洁、生动，有助于探索解决问题的思路和预测结果。几何直觉可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中发挥着重要作用。”
这段文字只有三句话。 第一句话非常简洁地总结了几何直觉的两个主要表现形式。 最后两句话进一步阐述了几何直觉的优点，或者说它的作用（功能）。 与其他核心词类似，它回避了几何直观的明确定义，同时阐述了义务教育三个阶段的共性和统一性。 基于上述几何直观层次的区分，可以认为这三个句子实际上涵盖了几何直观的三个层次。 例如，“直观地理解数学”既包括“直观感知”层面的初步理解，也包括“直观洞察”层面的本质理解。 当然，也包括两个层面之间比较深入的直观认识。
显然，另外两句也可以这样解释。
《数学课程标准》说明
从名词的定义来看，《课程标准实验稿》指出：
“统计概念主要表现在：能够从统计的角度思考与数据信息相关的问题； 能够通过收集数据、描述数据、分析数据的过程做出合理的决策，并认识到统计在决策中的作用； 能够了解数据来源、处理数据的方法以及对所获得结果的合理质疑。”
这段话包含三个层次的意思。 一是“统计思维”，二是“统计过程及其理解”，三是“对统计过程、方法和结果的反思”。 “统计思维”是指统计的整体概念，其具体内容在后两层进行描述。 明显的遗漏是没有提到“随机性”
《课程标准2011年版》指出
“数据分析的概念包括：认识到现实生活中有很多问题需要首先调查，收集数据，通过分析做出判断，认识到数据中包含信息； 了解同一数据可以有多种分析方法，需要根据问题的背景选择合适的方法； 通过数据分析体验随机性。 一方面，同一件事每次收集到的数据可能都不一样，另一方面，只要有足够的数据，就可能发现规律。”
这段话也包含三个层次的意思。 对比：一是修订后去掉了相对空洞的“统计思维”； 随后，对统计概念的两个具体内容进行了较大调整； 最后增加了“体验随机性”的学习要求。具体
关于“统计过程和理解”，修改后，“决策”减少为“做出判断”，强调“数据包含信息”。这更符合小学数学的教学实践
关于“对统计过程，方法和结果的反思”，它淡化了“质疑”，并强调方法的“多样性”和“适当性”，并且还涵盖了统计问题解决。 考虑到有许多错误的数据和虚假信息欺骗了当前社会中的人们，因此作者认为保留“质疑”更合适。 实践表明，尽管小学生“了解相同数据有多种分析方法，并且需要根据问题的背景选择适当的方法”，但他们也可以“合理地质疑数据“也是可行的。
关于“经验随机性”，这种补充不仅是非常必要的，而且还具体地描绘了从两个方面的随机性的含义和经验，以一种简单易于理解的方式渗透到了机会和必要性之间的关系。
一些学者的计算能力主要表现包括数学解决问题活动的几个方面：
①能够快速，正确地概括以感知数学问题的形式结构
根据问题类型（操作和关系的特征），正确确定解决方案模型，并根据操作规则和操作法律确定减少，解决问题的程序和转换方法的方向。
心理过程的活动，即探索从许多方面解决问题的解决方案，并摆脱固定思维的影响
④努力使解决方案简洁，清晰，经济和合理。
⑤对问题类型，解决方案模型和原理的广义记忆（这种记忆特别有利于数学知识和方法的转移）。
“ 2011年课程标准”指出：“计算能力主要是指根据操作规则和运营定律正确执行操作的能力。培养计算能力有助于学生理解操作的算术，并寻求解决问题的合理和简洁的操作方法。 ”
这两个句子实际上描述了计算能力的三个主要性能特征：正确计算和理解合理的算术方法（简单的计算方法是合理方法的自然结果）。 它也可以从字面上解释为：计算能力主要是以良好的且有充分根据的方式执行正确计算的能力，其作用是促进理解和应用。含义是：计算能力的培养主要依赖于根据规则和操作法律提高准确性，并通过理解算术和使用计算来解决问题来发展能力。
此外，计算能力具有一定的水平和开发。 从非负数操作到有理数数字操作，再到实际数字操作； 从整数操作到分数和激进操作：从具体操作到抽象操作。 随着知识的逐步扩展和抽象的逐步改善，计算能力继续发展。
2011年版的课程标准描述了推理能力，如下所示：
“推理能力的发展应该在整个数学学习过程中。推理是数学思维的基本思维方式，也是人们经常在学习和生活中使用的思维方式。推理通常包括逻辑推理和推论推理和逻辑推理是基于过去从某些事实开始的，我们依靠经验和直觉来通过归纳和类比来推断某些结果；规则（包括定义，规则和操作序列）。
该段落包含三个级别的内容：推理能力的重要性； 什么是逻辑推理和演绎推理？ 以及两种推理如何相互补充。
在学习过程中，教师经常问：为什么“课程标准”专注于引入推理而不给出推理能力的定义？ 过去，只有演绎推理才知道，但是现在有逻辑推理。 推理的本质是什么？）推理标准的分类是不同的。 不同分类之间有什么联系？ 在小学中，两个不同的推理功能是否可以相互补充？ 如何根据小学的实际数学来培养学生的推理能力。
2011年版的课程标准描述了推理能力，如下所示：
“推理能力的发展应该在整个数学学习过程中。推理是数学思维的基本思维方式，也是人们经常在学习和生活中使用的思维方式。推理通常包括逻辑推理和推论推理和逻辑推理是基于过去从某些事实开始的，我们依靠经验和直觉来通过归纳和类比来推断某些结果；规则（包括定义，规则和操作序列）。
该段落包含三个级别的内容：推理能力的重要性； 什么是逻辑推理和演绎推理？ 以及两种推理如何相互补充。
在学习过程中，教师经常问：为什么“课程标准”专注于引入推理而不给出推理能力的定义？ 过去，只有演绎推理才知道，但是现在有逻辑推理。 推理的本质是什么？）推理标准的分类是不同的。 不同分类之间有什么联系？ 在小学中，两个不同的推理功能是否可以相互补充？ 如何根据小学的实际数学来培养学生的推理能力。
2011年版的课程标准描述了推理能力，如下所示：
“推理能力的发展应该在整个数学学习过程中。推理是数学思维的基本思维方式，也是人们经常在学习和生活中使用的思维方式。推理通常包括逻辑推理和推论推理和逻辑推理是基于过去从某些事实开始的，我们依靠经验和直觉来通过归纳和类比来推断某些结果；规则（包括定义，规则和操作序列）。
该段落包含三个级别的内容：推理能力的重要性； 什么是逻辑推理和演绎推理？ 以及两种推理如何相互补充。
在学习过程中，教师经常问：为什么“课程标准”专注于引入推理而不给出推理能力的定义？ 过去，只有演绎推理才知道，但是现在有逻辑推理。 推理的本质是什么？）推理标准的分类是不同的。 不同分类之间有什么联系？ 在小学中，两个不同的推理功能是否可以相互补充？ 如何根据小学的实际数学来培养学生的推理能力。
“ 2011年课程标准”说：
“合理的推理基于现有事实，依靠经验和直觉，并通过归纳和类比来推断某些结果。”
合理的推理也称为“可能的推理”和“合理的推理”。 顾名思义，它们通常看起来很合理，结论似乎是正确的，但实际上可能是对与错。
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