作者：丁九（美国南密西西比大学数学教授）、约克（美国马里兰大学数学与物理教授）
2015年7月4日，照例是美国的国定假日独立日，但对我和其他一些人来说，这是一个特别难忘的日子。 那天给我们留下了非常美好的回忆，因为那是我的许多博士论文导师，已经做了30多年学生的李天岩教授，以及他自己的博士论文导师James A教授的聚会场所。约克。 齐聚一堂，庆祝他70岁生日。 我校创始人约克教授的出现，让上午、下午的庆生学术研讨会和晚上的庆生晚宴变得更加有意义和感人。 约克教授给了他独特的弟子一份独特的礼物，体现了他们四十年前对科学的重大贡献：一瓶名为“混沌”的红酒！
约克教授（左）在李天岩（右）七十寿辰研讨会上手持“混沌”牌葡萄酒| 供图：丁九
在大家去密歇根州立大学的旅途中（最远的是从台湾高雄来的），我比李教授的其他学生幸运，因为我和约克教授分别从密西西比州和马里兰州飞往密歇根州首府兰辛。 我在旅程结束前在第二趟航班上遇见了他。 而且航空公司恰好把我们的商务舱座位一个接一个地安排，所以我们的谈话就在我们从底特律飞往兰辛之前开始了！ 我们在机舱里，从兰辛机场到凯洛格中心酒店的路上，晚上在他的客房里，第二天一早我们见面继续谈话（我的几个师兄师姐们都得到了早起也顺便加入了）。 大多围绕“文化教育”这一主旋律。 这是因为我一开始就告诉他，他的弟子尤志平博士是中国杂志《数学文化》的“特约作家”和专栏作家，其目的与美国流行杂志《数学情报员》（《数学使者》）类似（现为杂志编委），笔名“万耀”举世无双，引起了他的极大兴趣； 在谈到中美教育时，我还提到我刚刚写了一本中国书（《体验美国教育》：三十年的经验与思考），将由商务印书馆出版。约克教授就像一个在接受《时代》杂志采访的那个小时里，他在我的引导下，几乎什么都可以谈论，所以我得到了一些关于他的“独家新闻”和其他信息。
我很早就从导师李天岩教授那里听到了约克教授的许多有趣的轶事和见解。 后来，它们被发表在美国科学记者詹姆斯·格莱克（James Gleick）的百万册畅销书《混沌：创造新科学》（中文译名：混沌：创造新科学）中。 《混沌：创造一门新科学》），我读过他的很多关于混沌的故事，其中一些故事收录在我自己多年前出版的科普书《智者的困惑：讨论混沌分形》中。
考试成绩平庸的普通学生
我在科普书中写道，约克教授曾对他的学生李天岩说，他在Columbia College（哥伦比亚大学的本科学院；大多数中国人可能不知道这个事实，“看不到泰山”）“不B” ”，来自台湾的李天岩很自然地用中国文化来推理“都是A”。 但他的老师告诉他，这实际上是“C 或以下”。 2005年，当我们在台湾新竹清华大学庆祝李天岩教授60岁生日时，约克教授曾向他的得意弟子承认，他在体育课等方面获得了一两个B。 这次，他告诉我，他高中时的最高数学成绩只有86分，四年来他没有任何一门课拿到A，但这仍然比他本科前三年的最高数学成绩还要高。学习。 然而，高中时，他参加了罗格斯大学举办的州数学竞赛，这项比赛需要“真正的数学技能”，结果获得了州第三名！ 大概是因为这些反映了他本色的好成绩，他考入了眼光独到的哥伦比亚学院。 但在大学的前三年，除了一门体育课外，他仍然没有获得任何科目的A。 不过这个零纪录终于在第四年被打破了，他至少拿到了一个A。虽然他的大学成绩单不是那么漂亮，但他告诉我那段时间他学到了很多东西，甚至还参加了著名的普特南数学竞赛对于大学生来说，成绩很好，这帮助他考入了康奈尔大学等大学。 进入著名私立学校。 由于他和未来的妻子想尝尝公立大学的滋味，并对马里兰大学的应用数学研究特别感兴趣，于是进入后者的研究生院继续深造，并分别获得了数学和物理学博士学位。
从约克教授后来发给我的高中四年的成绩单中，我看到他在数学课上的平均成绩如下：高一“代数一”是79，高二“代数二”高三的《代数-II》是75分，高三的《几何》是85分，高三的《数学》是86分。据说中小学中国的学生，即使是数学成绩95分以上的学生，也需要辅导，因为这个分数在班级里很低。我进一步注意到，约克高中每个学年的班级整体排名是50/74、46/。 71、35/70和20/70，虽然他的数学考试成绩不在“优秀”范围内，但他的总成绩的年度相对排名是严格递增函数。
惊讶吗？ 这听起来不太可信。 按照仅基于班级排名和考试成绩的中国标准，约克不会被视为好学生。 一个成绩不优秀的中学生，怎么可能成为世界著名的数学家呢？ 这位数学家和他的学生首先定义了现代数学术语混沌，并将马里兰大学建立为世界上最好的混沌研究中心。 中国数学教育专家可以研究这个课题。
约克教授
学生和研究人员的区别
上述问卷可能有很多线索，包括遗传自父母的高智商或大脑结构等内在品质。 但约克教授只提到了他对数学的研究和探索的哲学反思。 他对我说：理解一个重要定理证明中的各个部分比理解定理本身更重要。
这真是一个绝妙的主意！ 它很容易理解，但对于许多数学学习者来说却很难实践。 一个极端的反面例子是一位来自中国某名牌大学的学者。 我记得他告诉我，他一般不读定理的证明；他只看定理的证明。 他仅仅满足于阅读他们的结论。 在我读博士期间，李天岩教授讲了他在马里兰大学读书时的一件轶事。 一位博士生请求教授在口试中让她证明一般拓扑中的吉洪诺夫定理：任何紧空间族的笛卡尔积也是乘积拓扑下的紧空间，而不是教授要求她证明一般拓扑中的吉洪诺夫定理：证明定理：两个紧空间的乘积空间也是紧的。 原因很明显：她把前者的证明熟记于心，却没能理解证明语言背后的基本思想。
正如约克教授所强调的，理解定理证明的每一个部分可以让你掌握证明过程所依据的精彩想法，然后利用这个想法或由此衍生的新想法来解决其他数学问题。 。 这样，数学的不同学科不再被视为彼此没有联系的孤立元素，而是整个大厦的不同侧面。 根据我的理解，仅仅理解定理的好处只是将结论作为一个单一的数学命题来了解，而逐步理解整个定理证明的好处是它让你有可能创造更多的数学命题并画出更多的数学命题。从一个例子进行推论。 我想这就是为什么“平均或低于平均水平”的约克能够在州一级击败其他领域的秘密！
在给我的一封电子邮件中，约克教授更详细地阐述了他理解数学证明的哲学要素。 他强调，学生（甚至教授）应该尝试理解证明中的关键思想，最好找到两个关键思想。 这些关键思想不一定以“引理”的形式出现，因为书中可能指出了太多看似合理的关键思想。 事实上，关键思想往往是让学生感到惊讶的，所以不同的人会在证明中挑选出不同的关键思想。 它们是增进我们理解的关键要素。 一个关键思想可能有一个复杂的证明，因此学生应该从该思想中发现两个关键思想。 随后，约克教授不厌其烦地用一个中值定理的证明来说明他的上述论点。 这个证明取自微积分教科书。 为了证明这个重要的定理，书中列出了太多的引理来做准备。
该定理说，如果f是定义在区间[a, b]上的连续实函数，那么对于函数值f(a)和f(b)之间的任意数y，都存在(a, b)求点 c 使得 f(c) = y。
证明的第一个思路是通过区间(a+b)/2的中点将区间[a,b]一分为二，得到两个子区间，两个子区间都是原区间长度的一半。 如果函数f在上述中点处取值y，则定理成立，否则数字y必须位于两个子区间之一的两个端点处的函数f的值之间。 由该属性确定的子区间将替换原始区间。
第二种思路是，只要函数f不取得到的区间中点处的值y（否则定理就证明了），重复上面平分区间的思路，保持y所在的性质区间两端点的函数值之间。 我们得到无限序列的间隔，这些间隔越来越短，前面覆盖后面。 这些区间最终趋向于点c，该点必须满足f(c) = y。
无论书中列出多少引理，以上两个都是定理证明所需的关键思想。 第二个想法也导致了计算数学中求解连续函数零点的简单方法——二分法。 约克教授自豪地告诉我，他在高中时就学会了理解关键思想，这样一旦他遇到以前没有见过的问题，他可能就有更大的机会解决它。 他过去的一位博士生说，吉姆知道的定理比他的学生少，但这没关系，因为他可以产生他需要的定理。 他给学生的一条建议是：在学习之初，你可能应该决定你是否只想成为一名学生（然后背定理），或者如果你想成为一名研究员（然后你必须学会理解想法）。
因为我和约克教授谈到了上述的吉洪诺夫定理，这给了他一个很好的机会，利用拓扑学这个大定理来加深他关于“理解关键思想”的阅读方法。 该定理的证明比中值定理困难得多。 甚至约克教授本人也花了几天时间才解决这个问题（“我花了几天时间才解决，而且我已经知道了证明”）； 他说几年前就已经写出来了。 我在这篇文章的初稿中没有提到它，因为我担心有些读者会害怕阅读它。 但努力克服困难才是学习数学的良好态度。 正如已故美国物理学家费曼给妹妹的读书秘诀：当你不懂的时候，从头开始，直到你明白为止。 下面的叙述结合了约克教授的论证思路和我的一些理解。
该证明使用关于紧致性的等效陈述：当且仅当具有有限交集属性的任何封闭子集族具有非空交集时，拓扑空间才是紧致的。 “有限交集性质”是指“族的任何有限子族的交集不为空”。 这个性质是证明吉洪诺夫定理的两个关键思想之一。
设 S 为具有乘积拓扑的紧空间族 Sa 的笛卡尔乘积空间，其中下标 a 取自某个指标集。 为了证明S是紧的，根据上式，我们只需证明它的任意闭子集族F即可。 只要满足有限交集性质，就会有一个非空交集结论，并且存在一个属于F中每个集合的点p。
现在我们需要第二个关键思想：向F添加一些集合并保持有限交性质，使得扩展集合族有一个公共元素，因此它的子集族F共享这个元素，从而证明了吉洪诺夫定理。 实现这一想法的工具是佐恩的“引理”。 引理说：给定一个偏序集合 X，如果它的每个全序子集都有一个上限，则 X 包含一个最大元素。 将佐恩引理应用到这里的情况，将集合的包含关系作为“序结构”，则：F包含在S的满足有限交集性质的最大子集族G中。 请注意，G 的元素不一定都是 S 的闭子集。
给定索引 a，通过从 S 到 Sa 的“标准坐标投影”将 G 中的每个集合映射到 Sa 上。 由于G满足有限交集性质，因此得到的图像集族也具有有限交集性质。 虽然这些图像集在Sa中不一定是封闭的，但它们的闭包是Sa的封闭子集，并且该集合族也具有有限交集性质。 由于 Sa 是紧的，所以这个闭包族有一个共同元素，表示为 pa。 那么p = (pa)是属于S的一个点。我们要证明p属于G中的所有集合。
为此，只需证明 p 的每个邻域都在 G 中即可。因为一旦发生这种情况，p 的所有邻域都与 G 中的每个集合相交，因此 p 属于 G 中每个集合的闭包，因此也属于 G 中的每个集合根据乘积拓扑的定义，我们只需要考虑Sa中pa的邻域Na的笛卡尔乘积N的邻域，其中除了有限个指标a之外，Na等于Sa。 由于N是从S到Sa的标准坐标投影下Na的有限个逆像的交集，因此我们只需验证Na的每个投影逆像都属于G即可。可以证明如下。
由于 pa 属于 G 中各集合在 Sa 上的投影图像集的闭包，Na 与各图像集合有非空交，因此 Na 的投影逆像与 G 中各集合有非空交。根据G 的最大性质，这个逆像属于 G。现在你可以写出 QED。
作为约克关于如何学习数学的哲学视角的练习，在他与凯瑟琳·阿利古德和蒂姆·绍尔合着的畅销教科书《混沌：动力系统简介》的每一章末尾，不仅有通常的练习有助于理解概念，但还有一个具有挑战性的大题，需要彻底理解定理证明的各个方面才能完成！
“读书比听课更重要”
如何理解定理的每一个证明？ 约克教授给只信任老师的学生开了一个药方：读书比听课更重要。 当然，如果一个学生如此幸运，有约克教授或者李天岩教授这样的好老师，他自然能够获得真经，掌握证明或者几何见解的基本思想。 然而，正如约克教授所说，课堂讲课的声音下课后就消失了，再也不会回来，而书本的内容却永远存在。 通过积极主动的自学，你可以越来越深入地挖掘，不断思考，并发展出经过验证的真理。 他进一步提出了一种更好的阅读证明的方法：首先尝试自己证明，而不是阅读作者给出的现成句子，然后与教科书进行比较，以激发新的想法。 事实上，约克教授告诉我，他的大部分数学知识都来自学生时期独立阅读和思考的自学。
当我向他提到，在中国，孩子考上北大、清华大学一直是父母的梦想。 约克教授立即回复道：“就本科教育而言，哈佛大学是美国最差的顶尖大学之一。” 这句话对于患有“名校情结综合症”的中国家长来说，无非是一记耳光。 ！ 事实上确实如此。 在最好的研究型大学，许多教授并不关心本科生是否能跟上他们讲课的快节奏，课后也很少与他们互动。 学生像教授一样被教导为天才，而天才教授可能只是想花更多的时间与博士生讨论知识。 如果一个学生没有通过自学学会如何阅读，他可能在这个最重要的教育过程中遭受了灾难性的创伤，他学习真正数学的动力可能就消失了，再也回不来了。 我告诉约克教授，去年我读了英文书《没有灵魂的卓越：一所伟大的大学如何忘记上海的教育》的中文译本。 作者是哈佛大学学院（哈佛大学本科生学院）前院长、计算机科学系教授 Harry R. Lewis。 这两位著名学者的观察和观点惊人地一致，真是英雄气概。
约克教授不仅对常春藤名校的本科教育表示同情，还尝试改善其任教大学数学系的教学环境。 他告诉我，在退休前担任系主任的六年时间里，他对本科教育进行了大刀阔斧的改革，取得了显著成效。 他甚至与同事帕特里克·菲茨帕特里克（Patrick Fitzpatrick）教授合作，修改了后者的高级教材《高等微积分》，使重印的教材更适合学生。 如果我女儿几年后上大学，她就有机会使用同一本教科书的新版本。
独立日早餐前，我们在下榻的酒店大堂交谈后，我和比我早一年获得学位的师姐张红博士陪着约克教授来到韦尔斯厅，那栋大楼就是我的大学。数学系位于。 我们用了一整天的时间庆祝李天岩教授的七十岁生日。 生日学术活动在三楼会议室举行。 作为美国最早的“赠地大学”之一和美国第一所农学院，密歇根州立大学是美国最美丽的校园之一，所以一路走下去就相当于观赏了一个国家公园。 很快，路边的松鼠引起了约克教授的极大兴趣。 他拿出相机开始给他们拍照。 最好的照片，比如他白天和晚上拍摄的其他照片，最后与我们所有与会者分享。 我和张宏都注意到约克教授非常有耐心，并且专注于选择最佳的拍摄角度。 最后，一幅美丽的松鼠脸正对着摄影师的摄影杰作出现在我们面前。 当我们欣赏这张美丽的照片时，约克教授解释说，每当他拍照时，他都会努力拍出他拍过的最好的照片。 这不正是他之前给我讲的关于教育的哲学思想吗？ 当晚的生日晚会上，张红与大家分享了这个有趣的插曲，讲述了我们的祖先约克教授的教育思想和治学态度。
2005年，约克教授在参加完弟子李天彦教授的60岁生日研讨会后，接受了台湾数学界领军人物之一刘太平教授的专访。 后来，我看到了北京《数学通讯》杂志上发表的采访。 。 约克教授在演讲中鼓励年轻人的预言“计算可能带来伟大的科学发现”，在我的科普书中被引用了。 十年后的这次邂逅，他与我的短暂交流，不仅传达了他对数学教育的深刻见解，也对我起到了教育作用。 我很想与读者分享他的想法。 毕竟，我们年轻的大学生、研究生会从他的话中明白什么呢？
后记
1 本文英文初稿写于2015年7月13日，立即发送给约克教授审阅和修改。 很快，他在一封长电子邮件中回复了我，添加了细节并给出了数学例子来支持他的观点。 他还附上了他的高中成绩单。 由于这篇文章的很多内容都源自他，所以我认为他应该被列为合著者，就像Richard Courant将David Hilbert列为名著《数学物理方法》的合著者一样。 因为他的英文姓氏按字母顺序排在我之后，中文姓氏按笔画顺序排在我之后，所以他当之无愧地成为第二作者，他也没有异议，愉快地接受了。
2 二十多年前，我偶然在我任教的大学图书馆看到一本装饰精美的大册《名人录》。 上面记录着约克的名字，并在某年某月写下了他的传记。 某日出生于北京。 我从来没有听说过约克教授出生在我的祖国，所以我问了李天岩教授。 李教授从来没有听说过他的美国老板出生在抗日战争时期中国北方著名城市北平。 他只知道他的导师是一位土生土长的美国白人，1941年8月出生在新泽西州普兰菲尔德这个不知名的小镇。这一次，我终于有机会解开困扰我二十多年的谜团。 约克教授用微笑和林语堂的幽默解决了这个问题。 他的回答一开始让我感到惊讶，然后让我笑了：“我在《剑桥名人录》这样的出版物上编造了我的经历，比如我出生在北京这样的城市，有很多孩子。 就像十个孩子一样。 其实我只有三个孩子。”
这是约克式的幽默！ 这就是他对这些世界名人“他让你出名，你让他富有”的绝妙讽刺、挖苦和攻击！ 我不知道如今《名人录》在中国是否还流行，但40多年前我还在读大学的时候，被列入《剑桥名人录》几乎就像被选为科学院院士一样。科学（当时称为教员）也是同样的大新闻。 我们经常看到新闻报道，有人因为成为印在纸上的“剑桥名人”而成为学术人物、大学名人。 一些学者还将这些重要术语包含在他们引人注目的简历或具有众多头衔的名片上。
注：本文初稿发表于2015年出版的《数学文化》第6卷第4期，原标题为《约克教授谈教育》。 《回归基础》经作者授权转载，并有一定删节。
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