生活中，有很多模特。 例如，当你去售楼部看到大楼的模型时。 去汽车配件厂看看相应的模具。 该模型是为了方便重复生产而制作的固定框架。
相应地，数学模型是指在揭示数量关系和空间形态规律的基础上归纳总结出来的分析和解决问题的认知框架。 [1]数学模型为解决类似问题提供了一种思维方式和解决程序。 数学模型的构建依赖于学科深入的数学研究和实践，最终利用数字、符号、数量关系和空间形式来创建简洁、清晰、整体地表征研究发现的一系列模式。 [2]数学学习的过程就是数学抽象和建模的过程。
本文以人民教育出版社2013年出版的小学五年级数学教材第二卷中的“打电话”和“查找不良品”为例，谈谈如何进行建模，如何培养学生' 模型意识和建模能力。
1、模具的“工艺”
建模的过程实际上就是探索、感知、提炼、表征、抽象数量关系和空间形态规则的过程。 接下来以“打电话”这节课为例，讲一下建模的基本流程。
(1)小量：情景操作，建立模型原型
打电话是生活中的一个问题，如何通过一个人以最快的速度通知一群人。 当一个老师要通知5个人时，他至少需要打几次电话。 理解问题的意思后，可以几个人表演出来并演示操作，以帮助理解。
学生会有很多选择，比如一一通知、分组通知、传递通知（即知道通知的人通知其他人）等。最后通过操作演示，发现最快的本质是充分利用知道通知的人去通知别人，而不是闲置人力，这是最快的。
“第一次，只有一个老师，一次只能通知一个人；第二次，有两个人可以通知，老师和第一个学生。每个知道通知的人都去通知其他人最快，所以每次每个人去通知一个人，第二次之后有4个人（加上老师）第三次知道通知，知道通知的4个人各通知一个人，一个人；到1人，知道通知的人有2 4人，总共8人，减去老师，总共7人”发现可以通知2-3名学生两次； 4-7人可通知3次。
这种电话模拟的现场演示不容小觑。 它给了我们以下启示： 什么是最快的方式：每个被通知的人都应该通知其他人，从而保证最多的人参与通知。 由此初步建立了数学模型的雏形。 所谓原型是指模型的运行程序和实例程序。
（2）中等量：画图理解，直观搭建模型
要真正建立模型，一方面要扩大数量，另一方面要逐步升级探索方式，从有一定领域限制的操作演示转向更方便直观的绘图思维。
当被问及晋升时，如果一位老师要通知15名学生怎么办？ 演示操作看似繁琐，通过画图就能理解。 通过绘图，我们发现：第一次——可以通知1名学生； 第二次-可通知3名学生； 第三次——可通知7名学生； 第四次——可通知15名学生的学生。 因此，四次通话即可通知 15 名学生。
画一张图直观感受一下通知的送达率，以及调用次数和知道通知的人数之间的关系。 上次通知的学生，加上老师，就是下次通知的人。 每人通知一个人，下次人数将是上次的两倍。 但如果通知数量再增加的话，绘制起来显然就不方便了。
模型的直观性是指学生头脑中能够对模型有一个直观的形象，使模型看得见、摸得着、清晰。 通过图片，同学们一眼就发现，下次通知的被告知人数总是是上次通知的被告知人数的两倍。 通过图，学生可以直观地理解为什么是2次，因为上次知道通知的每个人都参与了通话，并且每个人一次可以通知一个人。 通过一对一的对应，知道该通知的新人数随着已经知道该通知的人数的增加而增加。 ，是原来知道并通知的人数的两倍。
(3)量大：总结规律，建立模型模式
直觉意味着信息内容丰富、生动，但也意味着局限性。 信息量太大，不利于学生快速掌握重点课程。 而且，通过画图来理解也有一定的局限性。 如果数量增多，绘图就会变得很麻烦。 更重要的是，过多依赖直观形象在一定程度上阻碍了学生抽象思维、逻辑思维、理性思维、想象力思维的培养。
因此，需要从图形转向数字和符号的表示，从中等数量转向大量，并用相应的公式来表达通知次数和通知人数之间的数量关系，渗透思想的功能。
扩大数据，如果老师要通知123个学生怎么办？ 学生结合画图发现的规律，总结出相应的数量关系。 如下表1所示。
通过整理表格，得到了通知次数与被通知人数之间的数量关系：被通知人数=次数与2的乘积，即2的幂。但是此时点，目前还无法表达所有时间与已通知人数之间的数量关系，因此使用包含字母的公式来表达需要突出。
(4)普通数：公式表达，建立模型抽象
数学模型源于具体事例，又超越具体事例。 它们源于生活，又高于生活。 它们的本质是从具体到一般的归纳概括。 自然，同学们就会想到如何通知X人？ 我需要打多少个电话？ 或者N次，能通知多少人？
这就要求学生从算术思维转向代数思维，用含有字母的方程来表达几个事物之间的数量关系。 这个包含字母的方程本质上是一个数学模型。 根据这个方程，学生可以根据已知量求出任意未知量。
基于大量的发现，学生自然会总结出以下模型：度是一个非0自然数或非0整数，可以用字母n表示。 上面得到的数量关系可以表示为：被通知的人数（包括教师）=2n（n为非零自然数，表示次数）。 该公式表示n 2 的乘法。 被通知的学生人数=2n-1。
（5）模型推广：类似问题应用模型解决
模型的建立基于一般规则和特殊案例总结的定量关系，往往适合解决与典型实例情况和结构一致的问题。 解决形势变化、结构相似或异化，但底层逻辑一致、本质一致的问题，需要学生再次从一般回归到具体，从典型模型回归到变异应用。 这就是模型的推广，用模型来解决类似情况下的问题。
电话模型可以解决很多类似的问题。 学生在解决类似问题时，需要不断理解电话通话模型的本质——即信息传递的优化。 获得信息的人就成为信息的传播者，节省人力，传播最快。 其扩散效应就是“倍增效应”。 例如，如果你教授某种技能，只需几遍就能教多少人，你就可以应用这个模型来解决问题。 癌细胞的扩散也是如此。 [3]
(6)模型变更：信息变更、模型灵活变更
数学学习不应局限于知识，还应培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。 他们应该徜徉在未知的冒险中，未知变成已知，他们应该越来越爱上数学。 学生要从起点出发，构建方面和实体，举一反三，了解数学学科的认知特点、研究方法、核心思想和知识结构，从学习到掌握、从掌握到掌握。在不断积累的过程中掌握到掌握。 学习，提高数学学习能力，让学生越来越了解数学。 最后，通过理解数学，我们要从这里到那里，用数学的学习经验和方法来解决生活中的实际问题，解决其他学科的问题。 数学建模素养的培养也是如此。 从模型出发，我们利用建模经验和方法来改变模型、改造模型、重构模型，或者构建新的模型。
例如，如果每次通话需要5分钟，那么最快需要多少分钟？ 然后你需要找到次数并乘以每次花费的时间以获得最快的时间。 再比如知道次数，求出可以通知的最少学生人数和最多可以通知的学生人数。 变体的应用无法一一列举，需要具体情况具体分析。
2、模具的“启动”
学习了一个模型，不仅仅是掌握模型并用它来解决实际问题或解决几个问题，更重要的是梳理建模过程，梳理建模方法，以便能够应用到下次再做其他问题解决建模。 。 当然，最重要的是形成造型意识和能力。 这需要从点到点、从点到面、从面到体、从标到根、从枝到根等“基础”出发。 我们以人民教育出版社2013年出版的小学五年级数学教材第二册中的“找次品”建模为例，谈谈如何培养学生的建模意识和能力。
(一)问题意识
问题是探究的动力、研究的起点、建立数学模型的起点。 《寻找不良品》课中的问题意识体现在学生自发的提问上。 如果您在 7 件产品中发现 1 件有缺陷的产品，则该缺陷产品将比正品轻或重。 通过天平秤，我们不禁要问，怎样才能尽快找到不良品呢？ 如果只是为了解决问题而不去质疑、去研究、去总结，那离建模还很远。
（二）研究意识
问题是动力，但解决问题的过程才是建模的核心，这意味着培养学生的研究意识，积累相应的研究方法。 在寻找不良品的课程中，我们对不同的划分方法进行了实验。 这个过程就是一个研究的过程。 在小学数学教学过程中，往往进行的是准研究，而不是严格的实验研究和调查研究。 旨在让学生充分体验发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的全过程，培养求真务实的科学精神。
(3)造型意识
在深入研究、发现规律后，还应该从算术转向代数，用数字、符号、公式等简洁地表达发现缺陷产品所涉及的数量关系。 最后建立一个模型：每次分成三堆，不断假设不良品在数量最多的那堆中。 分析本质：分成三堆，保证每次都能找到不良品的位置，并保证每堆的数量尽可能少。 （比分成两堆或四堆更好）
（四）实践意识
模型不是静态的数量关系、思维框架或认知程序。 它应该是在实践中不断内化、在实践中不断发展优化、在实践中验证、在实践中拓展重构的一个流动的实践步骤。 寻找有缺陷的产品在生活中有很多应用。 将模型应用到生活中的过程，也是优化模型的过程。
(5)优化意识
优化意识体现在对同一个模型不断的思考和研究，往往会有新的发现、新的优化。 如果你正在寻找缺陷产品，第一次研究可能会很复杂，你会继续思考并询问为什么将它们分成三堆是找到缺陷产品的最快方法。 继续追问，你就会得出新的结论。
数学建模素养的培养不是一朝一夕或一堂课就能完成的。 它要求教师不断地将其渗透到平时的教学中，使学生不断积累数学建模的经验和方法，培养学生的建模意识，培养学生发现思想、提出思想的能力。 ，分析问题、解决问题的能力，更重要的是让学生培养求真务实、求真创新、持之以恒探究的科学精神。 数学建模是一种意识、一种能力、一个过程、一种成长。
参考：
[1]朱祖皇. 数学建模：从经验认识到核心素养培养[J]． 数学教学交流，2021（21）：51-52。
[2]朱明. 小学数学教学中数学建模素养培养的思考[J]. 数学教学报，2021（16）：61-62。
[3] 李方红. 数学文化的内涵、价值与应用:从数学教学到数学文化教育[J]. 教育科学论坛，2021（10）：11-14。
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