它告诉我们什么？
其外衣之下隐藏着牛顿第二运动定律。 方程左边是小流体区域的加速度。 右侧是作用在其上的力：压力、应力和内部体积力。
它为什么如此重要？
它提供了一种非常准确的方法来计算流体如何移动。 这是无数科学技术问题的一个关键特征。
它带来什么？
现代客机、快速安静的潜艇、高速行驶的一级方程式赛车，以及针对静脉和动脉血流的医学进步。 用于求解该方程的计算机方法称为计算流体动力学 (CFD)，被工程师广泛用于改进这些领域的技术。
来源 | 《改变世界的17个方程》
作者 | [中文] 伊恩·斯图尔特
译者| 老贾
从太空看，地球是一个美丽、闪闪发光的蓝白色球体，上面有绿色和棕色的斑点，与太阳系中的任何其他行星（或目前已知的 500 多颗绕其他恒星运行的行星）完全不同。 “地球”这个词立刻让人想起这个形象。 然而，五十多年前，这个词给人带来的普遍印象是园艺中的“一把土”。 20世纪之前，人们仰望天空，思考星星和行星，但他们却站在地面上。 人类飞行只不过是一个梦想，是神话和传说的主题。 很少有人想到去另一个世界旅行。
一些勇敢的先行者开始慢慢地爬上天空。 最早的是中国人。 公元前500年左右，鲁班发明了木鹊，这可能是一种原始的滑翔机。 公元559年，新皇帝高洋将废帝的儿子元皇头（违背他的意愿）绑在风筝上，让他从高空刺探敌情。 袁荒头幸免于难，但后来被处决。 随着 17 世纪氢气的发现，飞行的冲动传遍了欧洲，激励了一些勇敢的人乘坐气球进入地球大气层的底层。 由于氢气很容易爆炸，1783年法国兄弟约瑟夫-米歇尔·蒙哥菲尔和雅克-艾蒂安·蒙哥菲尔公开展示了他们更加安全的新想法——热气球。 首先进行了无人试飞，然后由艾蒂安进行了控制飞行。
进步的速度和人类可以攀登的高度开始迅速增加。 1903 年，奥维尔·赖特 (Orville Wright) 和威尔伯·赖特 (Wilbur Wright) 首次使用飞机进行了动力飞行。 第一家航空公司 DELAG（德国飞艇旅行公司）于 1910 年开始运营，使用齐柏林飞艇将乘客从法兰克福运送到巴登巴登和杜塞尔多夫。 到 1914 年，圣彼得堡 - 坦帕航线已开始在佛罗里达州两个城市之间进行商业飞行，托尼·詹努斯 (Tony Jannus) 的“飞艇”只花了 23 分钟就完成了这一旅程。 商业航空旅行很快变得司空见惯，喷气式飞机也随之而来：德哈维兰彗星号于 1952 年开始执行定期航班，但金属疲劳导致了多起坠机事故。 自 1958 年推出以来，波音 707 已成为市场领导者。
如今，普通人达到8000米的高度已经很常见，这是他们目前的极限，至少在维珍银河的飞船开始在低轨道飞行之前是这样。 军用和实验飞机可以爬升到更高的高度。 迄今为止，太空飞行一直是一些有远见的人的梦想，现在开始看起来像是一个可行的提议。 1961年，苏联宇航员尤里·加加林乘坐东方一号实现了首次载人绕地球轨道运行。1969年，美国宇航局的阿波罗11号任务将两名美国宇航员尼尔·阿姆斯特朗和巴兹·奥尔德林送上月球。 航天飞机于 1982 年开始运行，尽管预算限制使其无法实现快速返回和可重复载人的最初目标，但它与俄罗斯的联盟号航天器一起成为低轨道航天的支柱之一。 亚特兰蒂斯号航天飞机已经完成了航天飞机计划的最后一次飞行，但大部分由私营公司制造的新型飞行器已被纳入该计划。 欧洲、印度、中国和日本都有自己的太空计划和部门。
人类的字面意义上的提升改变了我们对自己是谁以及我们生活在哪里的看法——这就是为什么“地球”现在意味着这个蓝色和白色的星球的主要原因。 也许正是这两种颜色为人类带来了这种新的飞行能力。 蓝色是水，白色是云状的水蒸气。 地球是一个水世界，有海洋、河流、湖泊。 水善于流动，常常流到不需要它的地方。 水流可以是从屋顶滴下的雨水，也可以是像瀑布一样奔腾的急流。 它可以是平缓而平稳的，也可以是汹涌而急流的——没有尼罗河，它平稳流过的地方就会变成沙漠；没有尼罗河，它流淌的地方就会变成沙漠； 但它的六个瀑布却有白顶急流。
水（或者更一般地说，任何流动的液体）形成的模式引起了 19 世纪数学家的注意。 当时他们推导出第一个流体流动方程。 飞行中的关键流体不像水那么容易看到，但它也同样无处不在：空气。 空气流动在数学上更加复杂，因为空气可以被压缩。 通过修改适用于可压缩流体的方程，数学家发展了一门称为空气动力学的科学，最终带来了飞行时代。 早期的先驱者可能是根据经验进行飞行的，但商业客机和航天飞机之所以能够起飞，是因为工程师们进行了计算，使它们安全可靠（除非发生事故）。 飞机设计需要对流体流动的数学有深入的了解。 流体动力学的先驱是著名数学家莱昂哈德·欧拉，他在蒙哥菲尔兄弟首次气球飞行的同一年去世。
多产的欧拉对数学领域几乎没有不感兴趣的。 有人说他多才多艺的原因之一是政治，或者更准确地说，是回避政治。 他在俄罗斯帝国叶卡捷琳娜二世的宫廷工作了很多年，避免卷入政治阴谋并带来潜在灾难性后果的一种有效方法就是忙于数学，以至于没有人相信他有时间做这件事。 。 政治。 如果他这样做了，许多奇妙的发现都将归功于叶卡捷琳娜二世的宫廷。 但我倾向于认为欧拉是如此多产，因为这就是他的思维方式。 他创造了很多数学，因为他无能为力。
这个问题前人也研究过。 2200多年前，阿基米德研究了漂浮体的稳定性。 1738 年，荷兰数学家丹尼尔·伯努利 (Daniel Bernoulli) 出版了《流体动力学》(Hydrodynamica)，书中包含了压力较低时流体流动速度较快的原理。 如今，人们经常引用伯努利原理来解释飞机为何飞行：机翼的形状旨在让空气沿着其上表面更快地流动，从而减少压力并产生升力。 这个解释有点过于简单化，飞行还涉及很多其他因素，但它确实说明了基本数学原理与实际飞机设计之间的密切关系。 伯努利将他的原理浓缩为不可压缩流体中速度和压力的代数方程。
1757年，欧拉用他活跃的思维研究流体流动，并在《柏林科学院院刊》上发表文章：《流体运动的一般原理》。 这是第一次认真尝试使用偏微分方程来模拟流体流动。 为了使问题保持在合理的范围内，欧拉做了一些简化的假设。 特别是，他认为流体与空气不同，像水一样不可压缩，并且粘度为零，没有粘性。 这些假设使他能够找到一些解决方案，但也使他的方程变得不切实际。 今天人们仍然使用欧拉方程来解决某些类型的问题，但总的来说它过于简单化并且没有什么实际用途。
两位科学家提出了一个更接近现实的方程式。 克劳德·路易斯·纳维尔是法国工程师和物理学家，乔治·加布里埃尔·斯托克斯是爱尔兰数学家和物理学家。 1822 年，纳维导出了粘性流体流动的偏微分方程组； 二十年后，斯托克斯发表了关于这个主题的文章。 由此产生的流体流动模型现在被称为纳维-斯托克斯方程（通常使用复数，即纳维-斯托克斯方程，因为该方程表示为矢量，因此它有多个分量）。 这个方程非常精确，以至于工程师现在经常使用计算机来求解它，而不是在风洞中进行物理测试。 这项技术被称为计算流体动力学 (CFD)，现已成为解决任何涉及流体流动问题的标准：航天飞机的空气动力学、一级方程式赛车和日常客车的设计以及人体的血液循环。 或者人造心脏。
我们有两种思考流体几何形状的方法。 一是追踪单个微小流体颗粒的运动，看看它们要去哪里； 另一种是关注这些粒子的速度：它们在任何时刻移动的速度和方向。 这两种方法密切相关，但除了数值近似之外很难理清这种关系。 欧拉、纳维和斯托克斯的一个重要见解是认识到，如果从速度开始，一切看起来都会简单得多。 流体的流动最好用速度场来理解：它在数学上描述了速度如何从空间中的一个点到另一个点，以及从一个时刻到另一个时刻的变化。 因此，欧拉、纳维和斯托克斯写下了描述速度场的方程，以便可以计算出流体的实际流动模式，至少可以得到一个很好的近似值。
纳维-斯托克斯方程的形式如下：
在
是流体密度，
是它的速度场，
是压力，
是压力，
代表体积力——作用于整个区域而不仅仅是表面的力。 点积是向量上的运算，
是偏导数的表达式，即
该方程源自基础物理学。 与波动方程一样，关键的第一步是应用牛顿第二运动定律将流体粒子的运动与作用在它们上的力联系起来。 主要的力是弹性应力，它主要由两个部分组成：流体粘度引起的摩擦力和压力的作用，无论是正压（压缩）还是负压（稀疏）。 还有体积力，它来自流体粒子本身的加速度。 结合所有这些信息得出纳维-斯托克斯方程，该方程可以被视为在这种特定情况下动量守恒定律的描述。 它背后的物理原理是无可挑剔的，并且该模型足够现实，可以包含大多数重要因素，这就是它如此适合现实的原因。 与所有传统的经典数学物理方程一样，它是一个连续介质模型：它假设流体是无限可分的。
这可能是纳维-斯托克斯方程与现实脱节的关键，但只有当运动涉及单个分子尺度的快速变化时，差异才会出现。 这种小规模的运动在湍流这样的关键环境中非常重要。 如果打开水龙头，让水慢慢流出，水就会形成光滑的细流。 然而，如果你把水龙头完全打开，你常常会得到一股泡沫状的水。 类似的泡沫流也出现在河流的急流中。 这种效应被称为“湍流”，任何经常飞行的人都清楚它在空中发生时的影响：感觉就像飞机在崎岖不平的道路上行驶。
纳维-斯托克斯方程很难求解。 在发明真正快速的计算机之前，这个方程很难求解，数学家被迫采取各种捷径和近似法。 但如果你想想真正的液体能做什么，那应该很难。 你只需观察溪流中流动的水，或者海滩上拍打的波浪，就能看到流体可以以极其复杂的方式移动。 这里有涟漪和漩涡、波浪和漩涡，还有像塞文春潮这样迷人的景象，当潮水涌来时，一道水墙冲进英格兰西南部塞文河的河口。 流体流动的模式一直是无数数学研究的源泉，但该领域最大、最基本的问题之一仍未得到解答：是否有数学保证纳维-斯托克斯方程的解确实存在并且在未来的任何时候都是正确的？ 任何能解决这个问题的人都将获得百万美元的奖金。 它是克莱数学研究所千禧年奖的七个谜题之一，代表了我们这个时代最重要的未解决的数学问题。 对于二维流，答案是“是”，但没有人知道三维流的答案。
尽管如此，纳维-斯托克斯方程提供了一个有用的湍流模型，因为分子非常小。 几毫米宽的湍流涡流已经体现了湍流的许多主要特征，但分子比这小得多，因此连续介质模型仍然适用。 湍流引起的主要问题是实际问题：它使得纳维-斯托克斯方程几乎不可能用数值方法求解，因为计算机无法处理无限复杂的计算。 偏微分方程的数值解使用网格将空间划分为离散区域，将时间划分为离散区间。 为了捕获湍流发生的各种尺度（大涡流、中涡流、小至毫米级涡流），您需要一个太细而无法计算的网格。 因此，工程师经常求助于湍流统计模型。
纳维-斯托克斯方程彻底改变了现代交通。 也许它最大的影响将是对客机设计的影响，客机设计不仅必须高效飞行，而且必须稳定可靠。 船舶设计也受益于这个方程，因为水是一种流体。 但即使是普通的家用汽车，现在也按照空气动力学原理进行设计，不仅因为它使它们看起来更加美观、时尚，而且因为为了降低燃油消耗，空气流过车辆所造成的阻力必须最小化。 减少碳足迹的一种方法是驾驶一辆空气动力学高效的汽车。 当然，还有其他方法，从驾驶更小、更慢的汽车到改用电动发动机，或者干脆少开车。 燃油消耗数据的一些重大改进来自发动机的技术进步，其中一些来自更好的空气动力学。
在飞机设计的早期阶段，先驱们利用粗略的估计、物理直觉和反复试验来制造飞机。 当您的目标是飞行 100 米且距地面不超过 3 米时，这就足够了。 莱特兄弟的飞行一号第一次正常离开地面，没有在起飞后三秒失速并坠毁，而是以不到 7 英里/小时的速度行驶了 120 英尺。 那一次，飞行员奥维尔成功地让飞机在空中停留了 12 秒。 但出于经济原因，客机尺寸迅速增长：单次航班可搭载的人数越多，利润就越高。 很快，飞机设计必须基于更合理、更可靠的方法。 空气动力学诞生了，它的基本数学工具是流体流动方程。 由于空气具有粘性且可压缩，因此纳维-斯托克斯方程或适用于特定问题的某些简化版本占据了理论的中心地位。
然而，如果没有现代计算机，这些方程几乎不可能求解。 因此，工程师们转向一种“模拟计算机”：将飞机模型放入风洞中。 人们使用方程的一些一般性质来计算变量如何随着模型规模的变化而变化。 该方法快速可靠地提供基本信息。 如今，大多数一级方程式车队都使用风洞来测试设计并评估可能的改进，但计算机现在的功能如此强大，以至于大多数车队也使用 CFD。 例如，图 10.1 显示了对 BMW Sauber 赛车的气流进行 CFD 计算的结果。 在我撰写本文时，一支名为 Virgin Racing 的车队仅使用 CFD，但他们明年也将使用风洞。
图10.1 一级方程式赛车气流计算结果
风洞不太方便； 它们的建造和运行成本很高，并且需要许多比例模型。 也许最大的困难是在不影响气流的情况下准确测量它。 如果您将仪器放入风洞中来测量气压等参数，仪器本身会扰乱气流。 也许CFD最大的实际优势是可以在不影响气流的情况下进行计算。 您想要测量的任何东西都可以随时获得。 此外，您可以在软件中修改汽车或组件的设计，这比制作许多不同的模型更快、更便宜。 无论如何，现代制造工艺经常在设计阶段使用计算机模型。
使用风洞模型研究超音速飞行（比音速更快的速度）特别棘手，因为风速非常高。 在这样的速度下，空气离开飞机的速度比飞机在空气中推动自身的速度要慢，这会导致冲击波——气压突然不连续，在地面上可以听到音爆的声音。 这一环境问题是英法协和式飞机（唯一投入使用的唯一超音速商用飞机）运行不佳的原因之一：除海上飞行外，不允许以超音速飞行。 CFD 广泛用于预测超音速飞机的气流。
地球上大约有 6 亿辆汽车和数万架民用飞机，因此尽管这些 CFD 应用看似高科技，但实际上对日常生活非常重要。 CFD的其他一些应用与人的关系更为密切。 例如，医学研究人员广泛使用它来了解人体的血流。 心脏病是发达国家人们死亡的主要原因之一，可能是由心脏问题或动脉堵塞引起的，这些问题会阻碍血液流动并导致血栓。 由于动脉壁具有弹性，因此人体血流的数学分析特别难以求解。 计算流体通过刚性管的运动已经很困难，但如果刚性管也可以根据流体施加的压力改变形状，那就更难了，因为现在计算域不会随时间保持恒定。 计算域的形状影响流体的流动模式，进而影响计算域的形状。 纸笔计算无法处理如此复杂的反馈循环。
CFD 非常适合解决此类问题，因为计算机每秒可以执行数十亿次计算。 必须修改方程以考虑弹性壁的影响，但这主要借鉴了弹性理论的必要原理，弹性理论是经典连续介质力学的另一个成熟分支。 例如，瑞士洛桑联邦理工学院对血液如何流经主动脉进行了计算。 结果提供的信息可以帮助医生更好地了解心血管疾病。
它还帮助工程师开发改进的医疗设备，例如支架——保持动脉畅通的小型金属网管。 Sunčica Čanić 使用 CFD 和弹性属性模型来设计更好的支架，她推导出的数学定理导致一种设计被放弃，并提出了一种更好的设计。 这种模型已经变得非常准确，以至于美国食品和药物管理局正在考虑要求任何设计支架的团队在进行临床试验之前进行数学建模。 数学家和医生正在联手使用纳维-斯托克斯方程来更好地预测和治疗心脏病发作的主要原因。
另一个相关的应用是心脏搭桥手术，即将身体其他部位的静脉移植到冠状动脉中。 移植物的几何形状对血流有很大影响，进而影响凝血——当血流中存在涡流时，更容易发生凝血，因为血液可能被困在涡流中而无法正常循环。 因此，我们在这里可以看到流体的几何形状与潜在的医疗问题之间的直接联系。
纳维-斯托克斯方程还有另一个应用：气候变化，也称为全球变暖。 气候和天气有相关性，但并不相同。 天气发生在特定时间和特定地点。 伦敦可能正在下雨，纽约可能正在下雪，或者撒哈拉沙漠正在燃烧。 众所周知，天气是不可预测的，并且出于良好的数学原因。 然而，大部分不可预测性都源于空间和时间上的小规模变化——细节。 如果电视天气预报员预测明天下午你所在的城镇有阵雨，但六个小时后下雨，落在20公里外，他会认为他的预测是准确的，但你会很不满意。 。 气候是天气的长期“纹理”，即降雨量和温度在很长一段时间（可能是几十年）内的平均值如何表现。 矛盾的是，由于气候平衡了这些差异，因此更容易预测。 困难仍然很大，许多科学文献致力于研究可能的误差来源并尝试改进模型。
尽管科学界一致认为过去一个世纪左右的人类活动导致地球平均气温上升，但气候变化是一个有争议的政治问题。 这一增幅到目前为止听起来很小，比 20 世纪大约增加了 0.75 摄氏度，但气候对全球范围内的温度变化非常敏感。 它们往往会使天气变得更加极端，并使干旱和洪水更加常见。
“全球变暖”并不意味着各地的气温都会发生同样小的变化。 相反，不同地点、不同时间波动较大。 2010年，英国经历了31年来最冷的冬天，促使《每日快报》刊登了标题“他们仍然声称这是全球变暖”。 然而，从全球范围来看，2010 年与 2005 年并列，成为有记录以来最热的一年。 1 所以“他们”是对的。 事实上，寒流是由高空急流位置变化引起的，它将冷空气从异常温暖的北极推向南方。 伦敦市中心两周的霜冻并不能否认全球变暖。 奇怪的是，同一份报纸报道说 2011 年复活节是有记录以来最热的，但与全球变暖无关。 那时他们正确地区分了气候和天气。 这个选择标准真的很有趣。
同样，“气候变化”不仅仅意味着气候正在变化。 由于火山灰和火山气体、地球绕太阳轨道的长期变化，甚至印度洋与欧亚板块的碰撞形成了喜马拉雅山，气候变化在没有人类帮助的情况下已经发生了很多次，而且大多是在很长一段时间内发生的在规模上。 在本讨论中，“气候变化”是指“人为气候变化”，即人类活动引起的全球气候变化。 主要原因是产生两种气体：二氧化碳和甲烷。 它们是温室气体：它们吸收太阳的辐射（热量）。 基础物理学告诉我们，大气中这些气体越多，吸收的热量就越多。 虽然地球确实失去了一些热量，但总体而言地球会变暖。 根据这一理论，全球变暖在20世纪50年代就被预测出来，预测的气温升高与观测结果基本一致。
二氧化碳水平急剧增加的证据来自许多来源。 最直接的就是冰芯。 当极地地区降雪时，它会堆积形成冰，最新的雪在顶部，最古老的雪在底部。 冰吸收空气，冰内部的主要条件使得这些气体在很长一段时间内几乎保持恒定，内部是原始空气，外部是最新的空气。 只要小心，人们就可以非常准确地测量被吸收的空气的成分并确定吸收的时间。 南极洲的测量结果显示，大气中的二氧化碳浓度在过去 10 万年里几乎没有变化，只是在过去 200 年里跃升了 30%。 过量二氧化碳的来源可以从碳同位素之一碳13的比率推断出来。 迄今为止，人类活动是最有可能的解释。
怀疑论之所以缺乏依据，很大程度上是因为气候预测的复杂性。 这必须使用数学模型来计算，因为它关系到未来。 没有一个模型可以包含现实世界的所有特征，即使有这样的模型，你也永远无法弄清楚它的预测是什么，因为没有计算机可以模拟它。 模型与现实之间的每一个差异，无论多么微不足道，都会让怀疑者感到高兴。 对于气候变化可能产生的影响，或者我们应该采取哪些措施来缓解气候变化，肯定存在分歧。 但把头埋在沙子里并不是明智的选择。
气候的两个重要方面是大气和海洋。 两者都是流体，都可以使用纳维-斯托克斯方程进行研究。 2010年，英国主要科学资助机构工程和物理科学研究委员会发表了一篇关于气候变化的论文，特别将数学称为团结力量：“气象学、物理学、地理学和许多其他领域的研究人员都贡献了他们的专业知识，但数学是一种统一的语言，可以让各行各业的人们在气候模型中实现他们的想法。” 该文件还解释道：“气候系统的秘密被锁定在纳维-斯托克斯方程中，但它们太复杂了，无法直接求解。” 相反，气候建模者使用数值方法来计算三维点网格上的流体流动，从海洋深处到高层大气，覆盖整个地球。网格的水平间距为 100 公里 - 任何更小的网格都会使计算不切实际。更快的计算机不会有太大帮助，因此最好的选择是更加努力地思考。数学家正在致力于以更有效的方式数值求解纳维-斯托克斯方程。
纳维-斯托克斯方程只是气候难题的一小部分。 其他因素包括海洋和大气内部和之间的热流、云的影响、火山等非人类影响，甚至平流层中的飞机排放。 怀疑论者喜欢强调这些因素来表明模型是错误的，但我们知道大多数因素都是无关紧要的。 例如，火山每年排放的二氧化碳仅占人类活动产生的二氧化碳的0.6%。 所有主要模型都表明存在严重问题，而人类是造成这个问题的原因。 现在的关键问题是地球将会变暖多少，以及这将在多大程度上造成灾难。 由于完美的预测是不可能的，因此气候模型尽可能好，以便我们能够采取适当的行动，这符合每个人的利益。 随着北极冰盖因冰川融化而缩小，而南极冰架正在破裂并滑入海洋，西北航道将开放。 我们不能再冒险相信，如果不采取任何行动，一切都会自行好转。
点击封面图片即可购买
评论列表