给定一个图形的特殊情况，将图形以类比的方式推广到一般情况，研究结论是否仍然有效，是中考数学中经常考的学科学习问题。
解决这类问题时，需要了解在将图推广到一般情况的过程中，哪些量没有变化，哪些量发生了变化，以及这些变化的量对原来解决问题的方法是否有影响。
类型一：探究结论型
例1 (1)运算发现：如图①所示，D为等边△ABC的边BA上的移动点（D点与B点不重合），连接DC，以DC为边作画BC上方的等边△DCF，连接AF，你能找出AF和BD的数量关系吗？ 并证明你的发现的结论；
（2）类比猜想：如②所示，当移动点D移动到等边△ABC边BA的延长线上时，其他与（1）相同。 (1)中的AF和BD的结论仍然有效吗？ 如果成立，请证明；
（三）深入探索：Ⅰ． 如图③所示，当移动点D在等边△ABC的边BA上移动时（D点与B点不重合），连接DC，以DC为边画等边△DCF和等边△ DCF 分别高于和低于 BC。 ′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB之间的数量关系？ 并证明你的询问结论； 二. 如图④所示，当移动点D在等边△ABC的边BA的延长线上移动时，其他方法与图③相同。 我的结论是真的吗？ 如果不是的话，有什么新的结论吗？ 并证明你得出的结论。
【分析】（1）根据等边三角形的三条边和三个内角相等的性质，可以利用全等三角形判断定理SAS来证明△BCD≌△ACF； 那么根据全等三角形对应边相等可知AF=BD；
(2) 通过证明△BCD≌△ACF，可以证明AF=BD；
(3)Ⅰ． AF+BF′=AB； 利用全等三角形的对应边BD=AF△BCD≌△ACF（SAS）； 同理△BCF′≌△ACD(SAS)，则BF′=AD，故AF+BF′=AB；
Ⅱ． Ⅰ中的结论无效。 新结论为AF=AB+BF′； 证明△BCF′≌△ACD (SAS)，则BF′=AD（全等三角形对应边相等）； 结合(2)式的结论，可证AF=AB+BF′。
【答案】（1）结论：AF=BD；
原因：图1中，∵△ABC是等边三角形（已知），
∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）；
同理，DC=CF，∠DCF=60°；
∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣∠DCA，即∠BCD=∠ACF；
在△BCD和△ACF中，
BC=AC，∠BCD=∠ACF，DC=FC，
∴△BCD≌△ACF（SAS），∴BD=AF（全等三角形对应边相等）；
(2)成立。
原因：图2中，∵△ABC是等边三角形（已知），
∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）；
同理，DC=CF，∠DCF=60°；
∴∠BCA+∠DCA=∠DCF+∠DCA，即∠BCD=∠ACF；
在△BCD和△ACF中，
BC=AC，∠BCD=∠ACF，DC=FC，
∴△BCD≌△ACF（SAS），∴BD=AF（全等三角形对应边相等）；
(3)Ⅰ. AF+BF′=AB；
证明如下： 由式(1)得△BCD≌△ACF(SAS)，则BD=AF；
同理，△BCF′≌△ACD(SAS)，则BF′=AD，
∴AF+BF′=BD+AD=AB；
Ⅱ． Ⅰ中的结论无效。 新结论为AF=AB+BF′；
证明如下：在△BCF′和△ACD中，
BC=AC，∠BC F′＝∠ACD，F′C=DC，
∴△BCF′≌△ACD（SAS），∴BF′=AD（全等三角形对应边相等）；
同样由(2)可知AF=BD；
∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′。
【点评】这题是一道关于三角形的综合题。 考查等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质等。解题的关键是正确找到全等三角形来解题。 是中考中常见的题型。
类型2：探索结论并拓展应用
例2． 【初步研究】
(1)如图1所示，AD为△ABC的中线。 探索AB+AC和2AD之间的关系。
小明探索这个问题的方法是：将AD延伸到E点，使DE=AD，连接BE，首先证明△ADC≌△EDB，然后得出结论。 他的结论应该是
【灵活运用】
（2）如图2所示，AD为△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF。 验证：BE+CF>EF。
【扩张】
(3)如图3所示，AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD在A点。E点为MN上的一点（与A点不重合），△ABC的周长记为a，△EBC的周长记为b。 比较并证明a和b之间的数量关系。
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理和三角形三边的关系可以求解该解；
（2）将FD扩展到G，使得GD=DF，连接BG和EG，根据全等三角形的判定定理和三角形三边的关系来求解问题；
(3)分两种情况回答。
【答】（1）将AD延伸至E点，使DE=AD，并连接BE，
在△ADC和△EDB中，
BC=CD，∠BDE=∠CDA，AD=DE，
∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE=AC，
∵AB+BE>AD+DE，∴AB+AC>2AD。
因此，答案为：AB+AC>2AD；
(2)将FD扩展到G，使GD=DF，连接BG和EG
在△DFC和△DGB中，
DF=DG, ∠CDF=∠BDG, DC=DB,
∴△DFC≌△DGB (SAS), ∴BG=CF,
∵在 △EDF 和 △EDG 中
DF=DG，∠FDE=∠GDE=90°，DC=DB，
∴△EDF≌△EDG (SAS), ∴EF=EG,
△BEG中，两侧之和大于第三边，∴BG+BE>EG
又∵EF=EG, BG=CF, ∴BE+CF>EF
(3) ① 当E点位于A点右侧时
将BA延伸至F，使AF=AC，连接EF，
∠FAE＝∠MAB＝90°﹣∠BAD＝90°﹣∠CAD＝∠CAE，
在△ACE和△AFE中，
AC=AF，∠CAE=∠FAE，AE=AE，
∴△ACE≌△AFE (SAS), ∴CE=EF
∵BE、EF、BF是△BEF的三边，
∴BE+EF>BF, ∴BE+CE>AB+AF, ∴BE+CE>AB+AC,
∴BC+BE+CE＞BC+AB+AC，即b＞a
②当E点在A点左侧时，同理b>a。
综上所述，b>a
【点评】本题考察全等三角形的判定和性质以及三角形三边之间的关系。 掌握全等三角形的确定定理和性质定理是解决问题的关键。
类型3 探索提供方法并及时运用
例3． 【阅读理解】
削长补短法是初中数学几何题中添加辅助线的方法。 截长就是将长边上的一条线段截断到等于某条短边，补短边就是将一条短边上的一条线段延长到等于某一条短边来解决问题。另一短边。
（1）如图1所示，△ABC是等边三角形，D点是边BC下一点，∠BDC=120°，探究线段DA、DB、DC之间的数量关系。
解题思路：将DC延伸至E点，令CE=BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC=180°，可证明∠ABD=∠ACE，容易证明△ABD≌△ACE，且△ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而探讨线段DA、DB、DC之间的数量关系。
根据以上解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系为______；
【扩张】
(2) 如图2所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC。 若D点为BC边下一点，∠BDC=90°，探究线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；
【知识应用】
(3)如图3所示，将两块斜边长度为14厘米的三角形板放在一起。 如果斜边重叠并放置在一起，则两个三角形板的直角顶点之间的距离PQ为______厘米。
【分析】（1）由等边三角形AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°，可知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°，可知∠ABD=∠ACE ，证明△ABD≌△ACE，得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证明△ADE是等边三角形，得DA=DE=DC+CE=DC+DB 。
(2) 将DC延伸至E点，令CE=BD，连接AE，证明△ABD≌△ACE可得AD=AE，∠BAD=∠CAE，
据此，可得∠DAE=∠BAC=90°。 由勾股定理可知DA²+AE²=DE²，则可得2DA²=(DB+DC)²；
(3) 由直角三角形的性质可知QN=1/2MN=7，利用勾股定理可得MQ=7√3。 利用(2)式的结论，可知√2PQ=QN+QM=7+7√3，由此可得答案。
【答】（1）如图1所示，将DC延伸至E点，使CE=BD，连接AE。
∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠BDC=120°，∴∠ABD+∠ACD=180°，
且∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∵∠ABC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，
∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°，∴△ADE为等边三角形，
∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB，
因此，答案为：DA=DC+DB；
(2)√2DA=DB+DC，
如图2所示，将DC延伸至E点，使CE=BD，并连接AE。
∵∠BAC＝90°、∠BDC＝90°、∴∠ABD+∠ACD＝180°、
∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，CE=BD，∴△ABD≌△ACE，
∴AD=AE, ∠BAD=∠CAE, ∴∠DAE=∠BAC=90°,
∴DA²+AE²＝DE²，∴2DA²＝(DB+DC)²，∴√2DA＝DB+DC；
(3)如图3所示，连接PQ，
∵MN=14, ∠QMN=30°,
【点评】这题是一道关于三角形的综合题。 主要测试全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质。 掌握全等三角形的确定定理和性质定理是解决问题的关键。 重要的。
快速测试：
1、在△ABC中，AB=AC=a，∠EDF的顶点D为底BC的中点，两边分别与AB、AC相交于F、E点。 研究BF和CE之间的定量关系。 为此，可以采用从具体到一般的方法进行研究。
（一）研究特殊情况。 如图1所示，∠A=90°，∠EDF=90°，当E、F位置改变时，BF+CE是否也相应改变？ 证明你的结论是正确的；
(2)变异迁移。 如图2所示，当∠A=120°、a=6、∠EDF=°时，(1)中的结论仍然成立。 求此时BF+CE的值；
(3)扩展到一般。 如图3所示，当∠BAC和∠EDF满足什么关系时，(1)中的结论仍然成立？ 若G是射线BA上的点，且BG=BF+CE，请直接写出∠BGC的次数。
2、（1）发现：如图1所示，A点是线段BC外的移动点，且BC=a，AB=b。 填空：
当A点位于_____时，线段AC的长度达到最大值，最大值为______（用包含a和b的公式表示）
（2）应用：A点为线段BC外的移动点，且BC=4，AB=1，如图2所示，分别以AB、AC为边，构造等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD,BE
①请找出图中等于BE的线段并说明原因； ②直接写出线段BE的长度最大值。
(3) 引伸：如图3所示，在平面直角坐标系中，A点坐标为(2, 0)，B点坐标为(6, 0)，P点为线外移动点线段AB，PA=2。PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出此时线段AM的最大长度和P点的坐标。
【练习技巧】
1. (1)结论：BF+CE=a是一个固定值。 如图1所示，连接AD。 只要证明△BDF≌△ADE就可以解决问题；
(2) 当∠EDF=60°时，BF+EC=9，为固定值。 如图2所示，连接AD，令DM⊥AB在M中，DN⊥AC在N中。只要证明△DMF≌△DNE(ASA)，即可推出FM=EN，由BM=BD· cosB，CN=CD·cosC，∠B=∠C=30°，BD=CD=AB·cos30°=3√3，发射BM=CN=9/2，发射BF+CE=BM-FM+CN+ EN=2BM，问题即可解决；
(3) 当∠BAC+∠EDF=180°时，(1)的结论仍然成立。 证明方法与(2)类似，然后证明DM∥CG可以解决问题；
2. (1) 根据当A点位于CB的延长线上时，线段AC的长度达到最大值，可得结论；
（2）①根据等边三角形的性质，AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推导出△CAD≌△EAB。 根据全等三角形的性质，得到CD=BE； ②由于线段BE的长度最大值=线段CD的最大值。 根据(1)中的结论可得结果；
(3) 连接BM，将△APM绕P点顺时针旋转90°，得到△PBN，连接AN，得到△APN，为等腰直角三角形。 根据全等三角形的性质，可得 PN=PA=2，BN=AM ，根据 N 为线段 BA 的延长线时线段 BN 的最大值，可得最大值为 2√2+ 4； 如图2所示，在E处过P处画PE⊥x轴，根据等腰直角三角形的性质可以得出结论。
【方法总结】通过上面的三个例子和两个练习，我们不难理解解题策略。 将图的特殊情况延伸到一般情况，必须牢牢掌握特殊情况的解题思路和关键知识，理清图变化前后相关量的关系，应对变化以不变应万变，从变化中求不变的规律。 。
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