吴正贤
特级教师、国家督学、全国人大代表、北京教育科学研究院基础教育教学研究中心小学数学室主任、国家义务教育数学课程标准制定核心成员全国小学数学专业委员会副主任委员，享受国务院政府特殊津贴专家。
作为小学数学老师，我们认为有两件事很重要，一是读懂孩子，二是读懂数学。 只有在了解儿童和数学的基础上，才能更好地理解儿童数学教育。
我们喜欢孩子，喜欢研究孩子，喜欢研究孩子的成长规律。 我们珍惜和孩子们在一起的时光，喜欢观察他们顽皮的追逐、快乐的玩耍； 我们也愿意捕捉他们遇到问题时的思维状态，皱眉、撅嘴； 我愿意向他们敞开心扉，全世界，用竹筒倒豆； 真诚地分享自己真实感受中的喜怒哀乐，陪伴孩子们成长，慢慢品味童年的美味。 当你和孩子在一起的时候，你会发现孩子的成长既有共性，也有个性。 有时你也会强烈地感受到每个孩子的成长状态都是不同的。 即使是同一个孩子，每天的生活状态也会有所不同。 只要你用心，每天都会有愉快的发现。 和孩子在一起，会让每天忙碌、辛苦的你感到更加平静和安宁； 和孩子在一起，会让平凡的生活变得丰富多彩、有滋有味； 和孩子在一起会让你感觉更加平和、平和。 随着年龄的增长，你会觉得自己还年轻； 和孩子在一起，每天都会给你新的期待……
我们喜欢数学，喜欢研究数学，喜欢研究数学教育规律。 什么是数学？ 此时我们可能很难概括，但多年的少儿数学教育实践让我们对数学有了自己独特的理解。 在我们心目中，数学不再只是一门“研究数量关系和空间形式”的科学。 它也是一种思维方式、一种理性精神、一种科学态度、一种交流语言、一种特殊工具。 数学与人类发展和社会进步密切相关。 数学广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。 数学作为对客观现象进行抽象和概括而逐渐形成的科学语言和工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学和社会科学中发挥着越来越重要的作用。 尤其是数学与计算机技术的结合，直接在多方面为社会创造价值，促进社会生产力的发展。 这是数学的基本价值，也是引导孩子学好数学的重要原因。
因此，数学教育不仅仅是“1+1=2”的简单知识传递过程，更是体现人类理性探索和求知精神的潜移默化过程，是数学文化和历史的传承过程，也是数学文化历史传承的过程。一种完美。 人格教育的过程。 数学教育不仅要对题目的对错负责，还要为孩子后续的学习和发展积蓄力量。 在这一理念的支配下，我们追求的不再是“以分数论英雄”，而是在“保护孩子成长利益”的背景下，处理好数学教育过程中的A、B、C……
了解儿童，就是要考虑儿童的感受，遵循儿童发展的规律；
理解数学就是牢牢把握数学的本质，遵循数学教育的规律。
1.理解孩子并考虑他们
了解孩子，就要为孩子着想，关注每个孩子成长的每一个变化。 我们需要清楚地知道，孩子们现在在哪里？ 我们要带孩子们去哪里？ 孩子们如何到达那里？ 这涉及到孩子的经验基础、教育目标和教学过程。 儿童的数学学习是一个重构已有经验的过程。 它不再只是教孩子如何计算、解决问题、考试，更注重核心数学素养的培养，数学思想和方法的习得。 启发孩子的智慧，激发孩子的潜能，培养孩子的人格。
了解孩子，需要亲近孩子、理解孩子，善于从孩子的角度设计和实施教学。 老师需要找出孩子现有的认知起点在哪里？ 包括现有的知识基础、生活经历、习惯的思维方式，尤其是孩子在学习中可能遇到的认知障碍和困惑。 只有真正了解孩子、了解孩子，教学才能更贴近孩子，才能让孩子获得实际收获。
1.理解孩子的困惑，让学习真正发生在认知冲突中
孩子的学习实际上是在什么情况下发生的？ 我们相信，当孩子原有的认知、以往的经验和新的概念发生冲突时，问题就产生了，思考就开始了，学习就发生了。 教师要善于利用幼儿原有认知与新概念之间的矛盾，了解和识别幼儿的困惑，把握认知的起点，激发认知冲突，使学习、思考、探索在幼儿的过程中自然发生。化解矛盾，发挥引领作用。 孩子们感受到智力活动的乐趣。
[案例1]“十进制除法”
孩子学习小数除法有哪些生活经历？ 数学知识的基础是什么？ 混乱是什么？ 如何从孩子的经验出发，找出新旧知识的连接点，制造认知冲突，设计合适的问题情境，让孩子产生真实的问题，进而发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，让孩子的学习能真实自然地发生吗？ （理解孩子）
小数除法的本质是什么？ 如何整体把握教材，系统设计教学流程，把握数学本质，培养孩子的计算能力？ （理解数学）
我们对教材进行了调整和组合，改变了本单元教材中原有实例的呈现顺序。
《十进制除法》教材的编写顺序大致如下。
例1：被除数为小数时的除法为“小数除以整数，商为小数”；
例2：被除数和除数都是整数的除法，即“一个整数除以一个整数，商是小数”；
例3：除数为小数的除法表示“整数或小数除以小数，商为小数”。
我们以“十进制除法”为主题来设计本单元的整体知识结构。 首先，我们用例2“整数除以整数，商是小数”来打开小数除法的第一扇门。 我们不再以例1“小数除以整数，商为小数”为例。
【课堂记录】
上课之初，小数除法的初步学习就是在“赤裸裸的情况”下开始的。
A、B、C、D是某大学同一宿舍的大学生。 今年毕业前夕，四人聚餐，约定以AA的形式付款。 服务员收费97元，每人应该付多少钱？
学生们记下信息并开始计算。 （让孩子学会在“赤裸裸的情境”中有意识地提取数学信息）：
97÷4=24（元）……1（元）
师：每人要付多少钱？
众生答：24元，还剩1元。 （齐齐回答后一头雾水，“24元加1元”是多少钱？）
学生1：24元以上25元以下。
学生2：（困惑地问）这个数字似乎不准确。
学生3：（热切地）：每人要付多少钱？
师：这个问题问得好，每人要交多少钱？ 这是本课我们要研究的新问题。 你有什么解决办法吗？
学生开始独立思考...
为什么我们选择例2作为学习小数除法的大门？ 为了让学习真正发生，就需要设计孩子原有的认知和已有的经验与新的概念发生冲突，从而产生混乱和问题。 之前的“除法有余”在这里无法解释，自然就产生了“每个人应该如何互动”？ 多少钱？ “剩下的1块钱给4个人，怎么分？” 问题在这里产生，思考在这里激活。
学生们独立思考，提出了不同的解决方案。
第一个孩子用算术表达式：1元=100分，100÷4=25（分），结果是25分；
老二则用了不同的计算表达式：1元=10角，10÷4=2（角）...2（角）； 2角=20分，20÷4=5（分），结果是2角5分；
老三用语言记录：1块钱不够，就换10角。 继续分，直到每人2角。 还剩下2角，还不够。 继续将2毛钱兑换成20分，继续划分，每人得到5分； 结果是 2 角 5 分；
第四个孩子用画画来表达。 先画一个大圆圈代表1元，然后分成10个小圆圈代表10角。 每个孩子分了2角，然后还剩下2角。 然后画20个小圆圈。 ，代表20分，每5个小圆圈，结果是每人2分钱和5分钱。
借助真实的问题情况和旧的知识和经验，我们可以继续瓜分剩下的“1元钱”。 “除钱”直观生动的过程解决了困惑，为理解小数除法运算奠定了重要基础。 真实的“赤裸裸的情况”引发了真实的问题和真实的需求； “旧经验”遇到的“新问题”引发了真正的质疑和真正的思考。 从“余数除法”开始，前进到“小数除法”是合乎逻辑的。
2、了解孩子的思维，让孩子的思维在“问题链”中由“浅入深”走向深
孩子的思维活动往往是由一个问题导致另一个问题引起的。 如果老师引导得好，必然会形成一条内在环环相扣的“问题链”，孩子的思维就会在每一个“问题链”中“渐浅渐深”。 出去”。
[案例2]“十进制除法”
得出“每人24元2分5分”的结论后，孩子们并没有就此打住，继续提出新的问题，“这样来回换太麻烦了，有没有更简单的办法呢？” ?", "你能用计算的方式写出这个过程吗？" 于是，就有了这样的记录：
那么问题来了，商是“24元2分5分”吗？ 还是“2425元”？ 在争论和质疑中，自然是“小数点”的出现澄清了事实。 孩子们在“2425元”中间加了一个“小数点”，并讲述了“24.25元”中“小数点”的含义。 他们进一步认识和认识到，“小数点”其实是一根“栖身针”。
一波浪潮尚未平息，另一波浪潮又兴起。 “除法的垂直表达式中的单位可以去掉吗？” 一位同学勇敢地尝试，写下了这样的竖式表达：
问题又来了。 去掉该单元后，“1”变成“10”，误差为10倍。 如何解决这个错误？ 又是那个“小数点”！ 这时，一个男孩上来，在“10”中间放了一个“小数点”，这样“1”后面加多少个“0”都不会影响它的大小。 改变的是，一个“1”被细化为10个“0.1”。 小数点的自然出现再次凸显了其定位的重要作用。
孩子从操作的“合理性”走向操作的“简单性”。 计算能力也是在一一提出问题、一步步解决的过程中培养的。 孩子学习数学动机的一个重要因素来自于他们对数学问题的持续思考和质疑。 同时，孩子们在这里体验到了小数点“不可替代”的作用，深刻理解了小数除法的算术。
课堂练习再次进入问题讨论。
计算并讲一个故事：整数除以整数：51÷2=？
孩子们结合真实情况踊跃发言：
51元买2本一模一样的书要多少钱？
51 个苹果平均分为 2 个等级。 每个班有多少个苹果？
将一根 51 米长的绳子分成 2 段。 每节多少米？
……
又一个新问题出现了：“具体情况已经无法得知，你能解释一下51÷2的真相吗？”。 于是，孩子们跳出了“元、角、分”、“米、分米、厘米”的局面，又开始讨论“51÷2”。 小数除法的运算自然流畅：51“1”除以2，得到25个“1”，剩下的1个“1”不够除； 将剩下的1个“1”变成10个“0.1”，然后继续除以2得到5个“0.1”。
就这样，具体情况的外衣慢慢被脱掉，最终归结为数学的本质——“计数单位”。 这是一个由具体到抽象，再由抽象到具体的认知过程。 孩子们充分感受到小数除法的本质，即“细化单位”不断除法，逐渐向小数除法的深度迈进。
下课铃响了，孩子们不停地问：“还有余数怎么办？”； “还会有余数 0.00...01 吗？” 不知道谁喊道：“那就叫‘螺旋小数’吧。”
孩子们纷纷给这一课取名：“除余数”、“除、除、除、继续除”。 课后现场采访时，有同学说：“听哥哥说小数除法很难，今天发现小数除法并不难，和整数除法是一样的。如果整数的余数是多少？”划分不够，就换成更小的单位继续划分，原理是一样的！”
《十进制除法》从尊重孩子的需求出发，关注孩子的思维动向，逐步走进孩子的认知世界。 通过具有挑战性的学习任务，孩子可以学会在“问题链”中发现问题、提出问题，逐步实现自身价值，从而达到对数学本质的认识和理解。 教师要善于读懂孩子的思维，让他们的思维在“问题链”中“进进出出”。
3． 了解孩子的经历，让抽象数学在熟悉的生活中变得“有形”
要了解孩子的经历，让他们对数学学习产生亲切感，了解数学的本质，我们的课堂教学必须尽可能贴近生活。 让孩子在熟悉的生活中理解数学，让抽象的数学在熟悉的生活中“触觉”起来。
教师要善于引导孩子从熟悉的现实生活中发现和提出数学问题，帮助孩子在分析和解决问题中逐步学会数学思维、发现数学规律、得出数学结论； 让孩子感受数学知识的生成和发展过程，激发孩子对数学的亲和力，培养孩子从数学角度观察生活的习惯和意识； 引导孩子运用所学的数学知识解决生活中的实际问题，引导孩子开展数学实践活动，将学与用结合起来，体验数学在现实生活中的价值，更加热爱数学学习。
学习有意义的数学，就是引导孩子“重新解读”生活中的“数学现象”。 课程中规定的数学知识对孩子来说并不是“新知识”，在一定程度上是“旧知识”。 上学前，他们和父母一起骑行、购物，了解时间； 他们和父母一起购物并了解价格； 他们搭建积木并了解物体的长度、大小、重量和形状……这些经验使他们能够获得数量和几何形状。 形式的最基本的想法。 尽管这些概念可能是非正式的、不系统的、不严格的，甚至可能包含错误，但它们为正式学习数学奠定了重要的基础。 这些在学前班积累的生活经验将在小学中运用。 数学学习中的“重新诠释”。
比如小学三年级课本中的“重叠问题”，也就是我们常说的“集合问题”，对于低年级的小学生来说就比较抽象，甚至难以理解。 所以我们想方设法调动和激活孩子们原有的经验，走近数学，理解数学。 我们首先介绍了我们小时候熟悉的“排队问题”，并通过自己的亲身经历“具体化”了这个新概念。
吴老师讲授《比较的理解》，完美诠释《理解数学，理解孩子》
2.理解数学，掌握数学本质
读懂数学，就是抓住数学的本质，守住“根”。 理解数学的过程就是新的数学知识进入个体认知结构并与原有认知结构中的旧知识相融合的过程。 这个过程对于数学学习具有重要意义。
我们知道，数学知识不是孤立存在的，也不是简单的集合。 数学知识本身有其独特的结构和体系。 新知识往往是原有知识体系中的“老枝发新芽”。 在教学中，教师要善于沟通知识之间的联系，抓住数学的本质，溯源、留本。 教师要带领孩子体验新知识在旧知识基础上成长的过程，并用熟悉的例子来解释困难的概念。 这种学习是自然的，很容易让孩子理解和掌握。
1.通过情境-直觉-操作理解数学概念
在学习“认识区域”课程时，我给孩子们提供了丰富的材料，给了他们足够的时间去感知“面”，培养他们的反面意识。 比如，根据尼罗河上涨后人们圈地的故事，我们先在黑板上画了两块大小不一的土地，通过着色触摸土地的“表面”，初步感受到“面积”。分为不同的尺寸。” 。 接下来，描出边缘线，感受表面与边缘线的区别，感受“表面是周长里面的东西”，为区分“面积”和“周长”的物化活动做好充分准备。
再比如，了解了面积单位后，我给学生布置了一个任务：有一张长方形的桌子，长6分米，宽4分米。 它的面积是多少平方分米？ 孩子们选择以1平方分米的面积单位进行密集铺贴。 课桌每排铺了6个1平方米的方格，铺了4排，一共24个1平方分米的方格，也就是24平方分米。 ……通过真实情境中的体验活动逐渐理解数学概念。
2.体验概念形成的过程，理解数学思维
数学学习不仅仅是知识的获取，更重要的是培养学生的思维能力，掌握学习数学的方法。 数学为人们提供了独特且堪称典范的思维方式。 数学在培养人的思维方面有其特殊的地位和不可替代的作用。
【案例3】《商业不变法则》
教授“商业不变定律”，首先创设一个故事情境，让孩子从中提出问题，找出计算背后的规律。
“这么多的计算永远无法完成，你能尝试总结一下隐藏在这类问题中的共同规则吗？” 学生们试图写出他们发现的规则，老师则在字里行间总结它们。 五名学生的作品按顺序展示在屏幕上（图略），引导全班同学仔细观察、比较、交流。
学生1：我认为这样的除法方程永远无法完成。 同学们都笑了。
师：有错吗？
学生：是的。 但他没有总结规则。
师：别着急。 先说一下你写的内容，然后再讨论。
学生2：我认为如果被除数和除数都乘以10，商保持不变。
学生：不！
同学们纷纷举手。
学生3：在我的这组计算中，被除数和除数都乘以3，而商保持不变。 仅仅说乘以10还不够全面。 我觉得更好的说法是，当被除数乘以2时，除数也乘以2，当被除数乘以3时，除数也乘以3……被除数乘以10，而除数也乘以 10...商保持不变。
学生4：被除数乘以数字，除数也会乘以数字，商肯定不变。 （同学们连连点头）
学生5：我写的是“被除数×a，除数×a，商不变”。
学生：这是什么意思？
师：这个问题问得好，别着急。 （转学生1）读完同学的作品你有什么感受？
学生1：看着大屏幕，停顿了大约半分钟，他说：“我的同学写得比我好，他们都写出了商不变的原因。”
师：其实你写的是对的。 类似这样的计算，确实有无穷无尽的。 然而，你似乎站在窗外谈论永恒的结果。 但其他同学却勇敢地打开了窗户，发现了里面的秘密，也明白了是什么让尚始终如一。 你善于欣赏别人，能从同学的作品中获得新的思想和收获。 很不错！
师：当同学们看到这些作品时，你们还有什么想说的吗？
盛（指着盛2的工作）并没有完整地总结它。 他只讲了乘以10的情况，在我的这套计算中，被除数和除数都乘了7，商没有变化，但没有总结。 那么学生2总结的帽子有点太小了，它不能涵盖所有的计算，对吧？
老师：哈哈，我掩饰不了。 你更欣赏谁的发现？ 为什么？ （引发大家再次思考）
学生2抢过麦克风：我明白了，我的帽子变小了。 我同意四号同学的观点，他总结的规则可以支配那些永远做不完的计算。 他的帽子做得很大。
师：大吗？
众生：这顶帽子不太大也不太小，刚刚好。 你看，它已经用这样的规则概括了所有的计算。
老师：（指着5号同学的作业）问：你能明白5号同学的意思吗？ ”（不少同学摇头）
师：要解铃，必须系铃。 我们来听听盛五的解读。
学生5：我认为a代表同一个数字。 只要被除数乘以a，除数乘以a，商就保持不变。
孩子们安静地观察了半分钟，长长地叹了口气。 他们纷纷举手表达自己的想法：“我明白他的意思，其中的a代表的是同一个数，被除数乘以的数与除数乘以的数相同，所以商不变。”
学生6：（高举小手说）我补充一点，被除数除以a，除数除以a，商不变。 "掌声再次响起。
老师：一个简单的乘法和除法就可以处理这么多的计算。 数学表达式就是这么简单。 您在除法方程中发现的规则称为常商规则。 ”
在这种情况下，我们立足于数学教育的思维价值，培养孩子学习数学的科学方法。 我们必须遵守数学教学的规则和少儿数学学习的规则。 我们要善于引导孩子有机会真正体验“数学化”，在观察、实验、猜测、推理、验证、交流等数学活动中获得数学思想和方法。 以数学知识为载体，培养孩子思维的深刻性、灵活性、批判性、全面性，让学生思考、获得智慧。
3.沟通知识之间的内在联系，理解数学的本质
《义务教育数学课程标准（2011年版）》总体目标第二条是：“理解数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的内在联系……”。 理解数学的本质是建立数学对象之间的联系并揭示所理解对象的意义。
【案例4】《矩形的理解》
在教授“认识长方形”时，我们通常会从日常生活中的桌子、屏幕、数学书籍封面中抽象出长方形的特征——对边相等、四个角都是直角，然后应用到日常生活中。
另外，我们可以从哪些角度来理解矩形呢？
首先是从运动和测量的角度来理解图形：将5厘米长的线段水平放置，向下（向上）平移3格（3厘米），成为一个矩形。 这是进入表面的线，也是通过测量确定的。 接触;
其次，可以从一个直角开始，从角的两侧剪出固定的长度，然后将两侧平移所需的距离，形成一个矩形；
三是从线与线之间的位置关系来描述：“对边平行且相等”是平行四边形的特征； 另外，“邻边垂直”是长方形的一个特点，让学生了解长方形是一种特殊的平行四边形。
用联系的视角来理解知识的价值、理解教材，最终的目的不仅是让孩子学会每一部分知识，更重要的是让孩子理解数学知识之间的内在联系，认识到数学知识的内在联系。 “条条大路通罗马”。
吴老师讲授《比较的理解》，完美诠释《理解数学，理解孩子》
3、坚持孩子的数学教育
在孩子的数学教育中，首先要关注孩子，其次要关注数学。 教育是人们相互了解、相互影响、思想碰撞的过程。 作为一名教师，我们要努力营造一个真情流淌的生活课堂。 在这样的课堂里，有温暖、有深度、有合作、有体验、有质疑、有生成、有思考。
我们要真正把孩子当作大人来对待，把孩子当作孩子来理解。
教师应充分关注儿童的差异，满足个性化的学习需求。 鼓励孩子独立思考，敢于提问，善于对话和沟通。 注重孩子“讲数学”，表达自己的想法。 教师要营造民主、平等沟通的氛围，帮助孩子学会互动和分享。 改变以往课堂教学中的单向互动方式，用合作推动探究式的互动分享课堂，促进孩子与学科知识、生活体验的对话，让每个孩子都有机会表达、发光，将孩子变成一个美好的事物，成为每个人的美好事物。
我们不能把孩子当作装知识的容器，“我说，你听，直到装满”。 我们必须完全意识到，孩子是有情感，思想，个性，差异和独立人物的人。 我们不仅必须尊重成年人的儿童，而且还必须理解，阅读，容忍和对待儿童。 特别是，它使那些在学习看到光明和希望前进的希望，有自我检查和自我启发的空间并有机会再次向前迈进的孩子。 我们必须根据儿童的认知规则和数学教学规则教书，并善于刺激儿童对数学学习的爱和信心。 我们必须利用自己的心来理解我们的心，我们的个性，以影响我们的个性，以及我们的智慧激发智慧，以便注入耐力，增加活力并为儿童的可持续发展奠定基础。
数学教育既是科学又是艺术。 老师应该找到让孩子在数学方面拥有出色学习经验的方法，并感受到“严格的科学美，辩证的哲学之美，魔法的规律性美丽，美妙的逻辑美丽，简洁的正式美女，清晰的直觉美...”然后引起儿童对数学学习的信心和期望…
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