我想每个人都有这样的经历：小学时你不知道初中数学是什么样子，高中时你不知道大学数学是什么样子。 对于大学生来说，如果不专注于数学，你可能不知道现代数学是什么样子。
下面将从学习数学的动机、不同数学科目的分类、培养数学能力的实用方法等几个方面来讲解如何学习数学。
认识您的需求
为什么要学数学是你首先需要思考的问题。 数学的子门类很多，每一本数学书都包含很多定理和结论，需要大量的时间去研究。 人的时间宝贵且有限，所以需要有一个总体目标并合理规划和安排时间。
01
你的目标是掌握数学、研究数学并靠数学谋生。 您可能渴望掌握代数几何，或者您可能想掌握尖端物理学。
然后你需要在现代代数、几何和分析方面打下坚实的基础。 你需要准备大量的时间和精力，并有坚定不移的决心。 （要求：精通所有三个级别的高等数学）你的目标是掌握数学、研究数学并靠数学谋生。 您可能渴望掌握代数几何，或者想要掌握尖端物理学。 然后你需要在现代代数、几何和分析方面打下坚实的基础。 你需要准备大量的时间和精力，并有坚定不移的决心。 （要求：精通所有三个级别的高等数学）
02
您的目标是能够熟练使用高等数学、解决问题并掌握探索新应用领域的武器。 您可能渴望进入计算机视觉、经济学或数据挖掘领域。
然后，你需要在矩阵论、微积分和概率统计方面打下坚实的基础。 （要求：精通1级高等数学）
03
你的目标是了解数学的乐趣，并使学习数学成为生活中的一大爱好。
然后，你需要在线性代数、数学分析、拓扑和概率统计方面打下坚实的基础。 对你来说，体验学习数学的乐趣才是更重要的目标。 （精通1级高等数学，畅游2级高等数学，尝试接触3级高等数学）
给自己足够的动力
学习数学需要智力，也需要时间和精力。 以下事实大家都很清楚：
01
任何无用的东西，或者有用但不被你使用的东西，都会像学到的一样快地被遗忘。 不信的话，你回想一下你大一或者初中学过的基础课就知道了。 你还清楚地记得他们吗？
02
如果你对某件事不感兴趣（或者觉得不有趣），你就很难坚持完成它。 很多人都有过这样的经历。 他们非常仔细地阅读一本书的前三章，但随后他们只是狼吞虎咽地阅读这些章节。 他们读得越来越快，反正既无趣又无用。
03
小学数学是中学数学的基础，初中数学是高中数学的基础，高中数学是大学数学的基础（可以类推）。
因此，无论你的目标是什么，是否是从事数学、运用数学、体验数学的乐趣、满足你从青少年时期就有的梦想。 学习的乐趣和学以致用始终是防止你的动力下降的两个最重要的因素。
高等数学要学什么？
好吧，我们看一下标准大学数学的科技树：
1级
线性代数（矩阵论）
数学分析
现代代数（群环域）
分别涵盖了几何、分析和代数的基本理论。 不要忘记概率论（基于分析的基础学科）。
2级
然后是基础、抽象和概括：
测度论（积分基础和概率论基础）
拓扑学（与集合、空间和几何相关的极其重要的基础学科）
泛函分析（线性代数的推广）
复变函数（分析的概括）
常微分方程和偏微分方程（分析的推广）
数理统计和随机过程（概率论的推广）
微分几何（分析和几何的结合）。
然后是一些应用科目：
数值分析（算法）
密码学、图形学、信息论
时间序列、图论等
三级
再往上是研究生课题，通常需要代数、几何和分析结合在一起：微分流形、代数几何、随机动力学等。
这棵科技树的第三层和小学、初中、高中的数学非常相似。 一层学不熟，下一层就读天书。
如何学习
做适量的问题
永远不要做任何疯狂的问题。 玩过策略对抗游戏的同学都知道，你只需要建造几个低等级的士兵即可。 后期就得省钱买高级士兵才能获胜。 低等级的战士不仅攻击力低，而且没有什么有趣的魔法。 它们存在的目的就是让你有能力生存到后期。
上面列出了很多课程。 如果你先花5年时间完成吉米诺维奇的六套数学分析题，你就30岁了，还没有开始学习第二级课程。
因此，只要做一些课后练习，帮助自己复习、思考、维护大脑功能即可。 你必须继续向后学习。 如果你根本不明白，就回去做练习来帮助你理清思路。
理解想法
数学的本质不在于问题的数量，而在于对思想的掌握。
数学的每个分支都有自己的思想主线和方法论，不同分支也有可以相互比较和借鉴的思维方式。 关注它，模仿它，琐碎的知识就会变成项链，你就掌握了一门课程。 仅仅阅读一本教科书并不能轻易理解思想。 你得读几本书，了解一些应用，才能看懂。
举两个例子：
1、微积分有几条主线：认识到微观和宏观是相连的，微分用来描述事物如何变化，它把细节放大给你看，积分用来描述事物的整体性质； 微分和积分 有时有不同的方法来描述一种现象。 这在数学分析书中可能不容易找到，但是如果你学过一些物理学，你会发现麦克斯韦方程组有等价的微分形式和积分形式； 积分变换可以建立不同空间之间的联系，建立空间与空间边界之间的联系。 这是斯托克斯定理：
最晚只能在微分流形中全面了解这个公式。
2.矩阵是空间中线性变换的抽象。 线性代数的全部意义在于研究如何在空间中表达、简化和分类线性变换算子。 SVD分解不仅广泛应用于应用学科，也是理解的重要组成部分。 Matrix是一个强大的工具； 矩阵是有限维空间上的线性算子。 理解“空间”不仅能让你重新理解矩阵，也能让你学习泛函分析有一个良好的开端。
渐进式和迂回式学习、比较学习
很多时候，当你只读一本书时，可能是因为作者的思维跳到了某个地方，你就再也跟不上它了。 学习数学的一个技巧是同时拿到几本国际知名的教科书并相互比较，或者读完一本书，然后再读另一本同一主题的书。 如果您不明白，请跳过熟悉的内容。 ，停下来思考或做练习。 如果还是不明白，就从你能理解的部分退后一步，继续前进。 当你读多了，你会发现一件事在很多地方出现，你对它的理解就会加深。
举两个例子：
国内一些数学分析书籍可能没有介绍外微分。 我第一次接触它是在彭家贵的《微分几何》中，我认为这是一个方便而巧妙的工具； 后来我读了卓立奇的《数学分析》。 还有鲁丁的《数学分析原理》都讲到了这个东西。 可见微分学在西方是一门基础知识。 如果想理解的话，可能首先需要理解矩阵，理解行列式恰好就是矩阵变换下拉伸的空间体积的倍数。 它是一种线性形式。 最后，当你阅读微分流形时，你会发现外微分是获得流形上斯托克斯定理的工具。
点集拓扑在应用程序中没有什么用处。 但如果想深入学习，这门学科就必须掌握，因为它准确地描述了开集、紧集、连续性、完备性等基本数学概念。 将来，您将学习泛函分析和微分流形。 没有这些观念，你就无法取得进步。 首先，你得读一下蒙克利斯的代表作《拓扑学》。 那么当你看其他老外写的书的时候，你就会或多或少的接触到一些相关的概念，你的理解就会加深。 例如，阅读Rudin的《泛函分析》，它首先介绍了线性拓扑空间。 您将能够利用以前的知识。
建立不同学科之间的联系
当你看到一个东西被用在很多地方的时候，你对它的理解就会加深，你就会慢慢地能够体会到这个东西的精妙之处。 最后，你会发现所有的基础学科都是相互交织的，在后续的应用中相互帮助，有效地认识到它们确实是基础的、有用的。 这是体验数学乐趣的一种方式。
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