小学阶段-数形结合的数学思想方法贯穿小学到大学

“当数字缺乏形式时，它们就不太直观。

当你是少数派时，很难保持微妙。”

——华罗庚语

数字和形状都是数学研究的对象，它们之间有着密切的联系。 数字与形状相结合的数学思维方法贯穿从小学到大学的整个学习过程。

01

小学水平-数字与形状的组合

事实上，在小学我们经常用图形来解释数学问题。 让我们看几个例子：

在行程问题和环形路线问题上，数字和形状的结合也可以帮助我们很好地理解问题的含义。 可见，数与形相结合的数学思维方法在小学中得到了充分的应用，但从方法论的角度并没有得到重视。 我们要在小学萌芽阶段就为学生播下数字与形状结合的思想种子。

02

初中阶段-数字与形状的长期组合

如果说数字与形状结合的思想只是小学时埋下的种子，那么初中阶段将是数字与形状结合的思维方法快速成长的时期。 可以说，数与形相结合的思想可以适用于初中数学的大部分章节，比如：数轴的概念、绝对值的几何意义、平面几何的全部内容、平面直角坐标系、一次函数和二次函数的图像、反比例函数图、三角比率的定义等。我们看2个例子：

例5是中考最后一道题（解答过程比较复杂，这里不再赘述）。 一般来说，中考的最后两题都是用数字和形状来测试大家对二次函数、全等三角形或相似三角形的理解。 因此，你能否熟练地将数字和形状与思维结合起来，将直接影响到你中考能否取得高分。 在初中学习阶段，必须通过专项训练，训练数字、形状与思想相结合的解决问题的能力。

03

高中阶段——数字与形状结合的成熟阶段

高中时数字和形状的结合是一个有机的整体。 可以说，没有数与形相结合的思维方法，就难以应对高考数学； 相反，如果你能掌握数字与形状相结合的思维方法，你就会如鱼得水，游刃有余。 下面仅举几道高考数学题来说明这一点：

从上面的例子可以看出，数字和形状相结合的思想在高中数学中随处可见。 “形状”不再是理解“数”的辅助手段，而成为数学学习的主要对象。 “数”与“形”密切相关。 形影不离。 这里的例子只是高中数学中数与形结合的冰山一角，尚未涵盖平面向量、解析几何、立体几何等。可见，高中数学要求学生具备关于数字和形状结合的成熟想法。

04

大学研究阶段-创新阶段

我们无法预测重要的数学思维方法何时会产生重要的科学成果。 我们举个例子来说明一下：黎曼几何与广义相对论的关系。

当爱因斯坦计算广义相对论时，有一些难以解决的数学问题。 在数学家朋友的帮助下，爱因斯坦发现黎曼几何的理论体系与他的广义相对论的问题情况完美契合，从而利用黎曼几何构造了广义相对论方程。 黎曼几何规定同一平面内的任意两条直线都有交点，因此黎曼几何中不存在我们所知的平行线。 而且黎曼几何还规定直线是有界的但可以无限延伸。 这些特征与广义相对论的模型非常相似，广义相对论的模型是广义相对论的数学基础。 爱因斯坦著名的广义相对论就像黎曼几何的应用问题。

当然，我们不能说广义相对论的发现是由于爱因斯坦对数字和形状结合的良好研究。 我们只是想用这个例子来说明重要的思维方法（不限于数字和形状相结合的数学思维方法）对于科学发展的重要性。

概括

数学思想的建立不是一朝一夕就能完成的，需要长期的学习和实践。 从小学数学开始，我们需要重视几何图形的学习，启发和鼓励学生将“数”与“形”相结合的思维，久而久之，培养和建立数字与图形相结合的数学思维方法。

扫描下方二维码与戴博士讨论

数学思维方法

标签： 数学 几何 思想 例子 中考