有一天我有时间介绍一下我读过的一些作者和我最喜欢的一些书。
注：这是清华大学刘思齐老师（B站：我真的不懂分析）在B站的讲座，指导我们选择适合自己的数学分析教材。 适合数学专业以及对微积分有较高了解的其他人。 对于必修专业，我觉得特别有收获的是第二部分：好书亮点。 今年我还计划根据这些重要内容复习数学，阅读张竹生老师的《数学分析新讲义》。
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大部分文字来自网站评论区：@张小明2312
一般原则
1.1 为什么选择一本书？
数学教材如何编写是一个教育问题，教育属于社会科学。 社会科学的特点是没有标准答案。
一本好的数学分析教材体现了作者对数学分析乃至现代数学整体的理解，这因人而异。
从读者的角度来看，人们有不同的成长经历，对教学方法有不同的偏好。
有的人只要看布尔巴基学派的书就能学会数学，有的人思考任何问题都需要在黑板上画图。
因此，在学习数学分析时，一定要选择一本适合自己的书。
1.2 选择一本书就够了吗？
作者写书是为了把他所有的数学概念都放进书里，而读者读书是为了建立自己的数学概念。即使读者选择
要找到一本最适合自己的教材，作者的观念不一定完全符合读者的观念。 因此，只读一本书是不够的。 你需要阅读很多书籍才能达到可以基于它构建概念的水平。
但另一方面，时间有限，不可能读很多书。 因此，集中精力阅读一本书，精读它，然后参考其他书籍是合理的。
所以真正的问题是：哪些书适合精读，哪些书适合参考。
1.3 我应该选择国内还是国外？
国外有很多，我们这里所说的国外仅指发达国家。 将中国作为一个发展中国家与所有发达国家相比较是不公平的。 当然国外没有那么好的教材，但是不会引进到中国，所以我们看不到。
国内最好的数学分析教材的平均水平确实比国外最好的数学分析教材略低。 但国内教材的优势在于微积分和数学分析是一起讲授的，与高中知识衔接得很好。 国外的数学分析教材往往只讲数学分析而不讲微积分，因为国外学生在高中就学过微积分。 因此，国内学生如果选择国外教材，一定要补充自己的微积分知识，比如微积分运算技能。
1.4 你应该选择经典还是新的？
经典之所以成为经典，是因为它就是经典。
1 现代分析教程 (1902)
2 数学分析课程（1904）
新书有新书的好处：定义更合理、结论更有力、证明更简单、观点更现代。 新书也更容易获得（或更容易以电子方式获得）。 由在世作者撰写的书籍会不断更新并纠正错误。 而且，读者的水平也比以前的时代有所提高。
因此，最好选择能跟上时代发展的新书作为精读的替代品。
两本好书的亮点
2.1 实数的定义
实数论是数学分析的基础。 一本好的数学分析书必须清楚地解释什么是实数。
实数的几种定义方法：
1 无限小数法
优点：直观、易于证明完整性
缺点：四种算术运算的定义比较困难，并且它们不与实数一一对应。
2 戴德金割断
优点：可以证明各种性质（包括四种算术运算、完备性等）
缺点：不够直观，证明过程冗长
3 康托/柯西基本列出法
优点：可以证明各种性质（包括四种算术运算、完备性等）
缺点：需要先讲序列的限制、等价关系和业务集的知识
4 公理定律
优点：无需讲具体结构，直接从公理入手
缺点：公理系统的兼容性取决于前三种构造
（实数公理系统的相容性取决于集合论公理系统的相容性，后者无法从哥德尔不完备定理中求解）
四种方法各有优缺点，但都是好方法。 最重要的是看课本能否解释清楚。
2.2 微积分基本定理
微积分基本定义是数学分析1的最终目标。
入门版：连续可微，是它的导数。
标准版本：可微分、可积、
问题：函数的导数可能不可积，可积函数也不一定是某个函数的导数。
升级版：
• 可微、可积，并且在有限数量的点上可能不成立
• 可微、可积，并且在可数多个点上可能不成立
• 连续、可积且几乎在任何地方都是真实的
• 绝对连续，几乎在任何地方都是其导数的积分版本
2.3 隐函数定理
隐函数定理的各种推论对于理解流形的概念非常重要，是后续内容如条件极值、曲面积分等的基础。
常见的证明方法：
1 排除法
优点：方法传统，思路清晰，易于理解
缺点：证明过程繁琐，无法扩展到无限维空间。
2 极值法
优点：证明过程简单
缺点：技术性强，仅适用于欧氏空间
3 定点法
优点：现代方法，介绍证明过程，可推广到空间
缺点：需要度量空间、压缩映射原理等预备知识。
2.4 二重积分代换法
重积分代入法是整个数学分析中最难的定理，但很多常见的数学分析教科书并没有严格对待这个定理。
常见的证明方法：
1 最简单的微分同胚方法
优点：传统方法
优点：需要微分同胚和单元分解的知识
2种方法
优点：方法现代，易于积分
缺点：需要无穷范数和相应的有限增量定理
3种方法
优点：后现代方法，证明过程简单
缺点：对区域边界要求高，需要先学习曲面积分
2.5 数学分析中更高级的知识拓扑、实分析、复分析、泛函分析、微分流形如何讲解...
数学分析中的许多定理实际上是欧几里得空间中拓扑和泛函中一些更一般定理的特例。 暂时忘记欧几里得空间中那些不相关的结构，只保留最必要的结构，可以使定理得到简化，使证明更加清晰。
另一方面，如果不引入更高级的知识，数学分析中的许多结果就无法清楚地解释。
1 有理函数的不定积分取决于代数基本定理，而代数基本定理取决于复分析。
2. 积分中的许多结果在实分析中具有更优雅的形式。
3 公式、公式、公式都是流形上通式的特例
无论是教授高级知识还是基础知识，都只是一种教学方式。 主要是如何教授这些知识。
教授数学分析高级知识的多种方式：
× 我觉得这个东西很酷，很流行，也很现代，所以我想给大家介绍一下。
√ 我觉得这对于理解数学分析很有帮助，所以我想给大家介绍一下。
× 我把进阶知识课本上的定义和定理堆在这里，你应该能看懂。
√ 我结合数学分析的具体问题，将高深的知识转化为更容易理解的形式。
三本精读书
以下仅代表作者自己的观点和品味。 书上的内容一般都偏难，你可以自己找一些更适合、更简单的内容。
陈天全（中）：数学分析讲义
• 实数的定义：公理化方法（带除法）
• 微积分基本定理：标准版+可数例外
• 隐函数定理：不动点法
• 重积分代换法：方法（method）
• 高级内容：模块化程度更低
• 其他特性：
1 补充教材、笔记和参考资料非常有价值
2个练习很棒，但你可能无法完成
3.部分内容与其他教材相似，略有修改。
4 文字晦涩难懂
参考书四本（海外）
陶哲轩（美国）：陶哲轩的真实分析
• 本书的章节安排和材料选择与本书类似。
• 缺乏重积分代入法、流形积分等重要内容，只能作为参考。
• 第5章采用基本列法来定义实数，这在其他书中很少见，最具参考价值。
• 陶哲轩的文风轻松又友善，不像《咒语cuborphan》那么冰冷，更好地诠释了很多事物背后的想法
• 中文翻译质量高，译者力求还原原文轻松友好的口语风格
阿波斯托尔（美国）：
这本书在各个方面都是互补的：
1 于1953年、1964年和1976年出版了三个版本，本书于1957年和1974年出版了两个版本
2 双方都谈到了要点
3的隐函数定理中使用的是不动点法，本书中使用的是极值法。
使用替换元素的 4 的多重积分最简单的微分同胚方法，此书法
5 积分的处理采用测度论方法，而本书采用泛函方法。
6 这本书有一些内容比如（分析和复分析），但是根本不讲流形上的积分。
7 语言简洁，这本书有点啰嗦（这是好事）
8中的练习比较难，但是本书的练习比较简单。
Fehching-Golz 微积分教程
我们之前说过，国外的数学分析教材往往缺乏微积分内容，而Feihejingolz的这套书正好弥补了这个缺憾。
这套书包含了非常丰富的例子，比如：
1 椭圆积分的处理方法
2e超越性的证明
3 各种奇怪的积分和级数计算
4 反演公式
5 问题及系列
最后的附录还讨论了网络的概念以及基于它的一般极限理论，这是先于滤波器基方法的极限理论。
吉米多维奇数学分析问题集
这本书市面上有很多版本，但我只推荐高等教育学会精选的这个版本。
这一版的前言很有趣：
和许多数学家一样，我已经使用过这部流行著作两次，第一次是在我被教授数学分析时，第二次是在我自己教授数学分析时。 值此季米多维奇练习集第二版筹备之际，我非常高兴并特别感激接受他儿子季米多维奇的邀请，为该版本撰写序言。
序言的作者是佐里奇，所以在阅读佐里奇的《数学分析》时，建议使用吉米多维奇作为参考。 Zorich上的练习一般比较难，也不强调计算，所以需要Jimmy Dowich来补充。
做题的目的之一是检查自己是否理解了所学知识，另外一个就是锻炼自己的计算能力，把计算变成本能的东西。 我们需要在计算中开发诸如肌肉记忆之类的东西。 它不应被视为问题或障碍，而是非常自然的事情。 我们需要非常熟练，计算速度非常快，以至于我们在计算看到的问题时，只是通过计算来回忆我们计算出来的结果。 当后续学习中有些东西难以理解时，可以通过大量计算相关的例子来培养经验和直觉。
最后，不要看解决方案。 如果你做错了，请记下问题编号，并在几天后重试。
4.7 Stein、Shakarichi Prinxeton 分析讲座
这本书是一本好书，但作为教科书似乎几乎没什么用，但作为参考书还不错。
• 第一本书《》可以作为Zorich第18章的后续，或者直接替代。
• 第二本书《几何观点》谈得不够多。 建议参考or的复分析。
• 第三本书中一些定理的处理方法比较初级，如果你学习数学分析，可以作为参考。 例如，使用微分定理
日出引理证明不需要覆盖（陈天泉的练习）。
• 书中的练习和问题都很好。 建议多做一些。
• 作者的写作动机是为了突出分析的完整性，使四大分析内容相互交织。 单独用一本书作为教材是不合适的。 但事实上，四本书的内容安排有点乱，读者总是找不到自己想要的话题。
参考书五本（国内）
张竹生数学分析新讲座
• 实数的定义：无限小数法（样式）
• 微积分基本定理：初学者版
• 隐函数定理：不动点法
• 二重积分代换法：方法+最简单微分同胚法（不使用单位分解）
• 优质内容：非常有限
• 其他特性：
1 对传统内容的精彩解释
2 没有练习，这是一大缺陷
王昆阳数学分析简明教程
• 实数的定义：无限小数法（样式）
• 微积分基本定理：标准版
• 隐函数定理：不动点法
• 重积分代换法：方法
• 高级内容：测量理论（尤其是曲线和曲面上的测量）
• 其他特性：
1、一维和多维混合在一起，难度有高有低。
2 有理数和无理数转化为比例数和非比例数
3 一般流形上的第二类积分无法教授
x钟丹、刘永平、王昆阳简明数学分析
• 实数的定义：无限小数法（样式）
• 微积分基本定理：标准版
• 隐函数定理：不动点法
• 二重积分和代换法：方法（积分）
• 高级内容：过滤器基础和积分
• 其他特性：
1 与 Akhibov 的书的教程完全一致，但有些地方写得更好。 可以与阿海博夫等人的书本课程进行比较来阅读。
2 没有充分发挥过滤子集的作用
3 有公式，但证明细节留作练习
梅加强数学分析
• 实数的定义：除法
• 微积分基本定理：标准版（增强定积分代换法）
• 隐函数定理：不动点法
• 重积分替换法：方法（绕过无穷范数）
• 优质内容：
1 余数面积公式
2分
3 微分形式的公式
• 其他特点：在连续函数的最后，一致连续性部分讲了定积分的定义和性质，并应用一致连续性
长庚哲史继槐数学分析教程
• 实数的定义：错误
• 微积分基本定理：初学者版
• 隐函数定理：消除法
• 重积分和替代方法：错误
• 优质内容：无
• 其他特性：
1 这是何晨、史继槐、徐森林以及徐森林、薛春华的《数学分析》的无能传人。
2 这本书唯一的亮点就是练习题和题都很好。 很多问题其实都来自华罗庚。
3.网上有视频教程，可以观看。
徐森林、薛春华数学分析、
• 实数的定义：四个都教过，但都有问题
• 微积分基本定理：入门版+有限例外
• 隐函数定理：消除法+不动点法
• 二重积分替换法：方法（无限范数的反证）
• 高级内容：堆积一些点集拓扑内容
• 其他特性：
1 逻辑混乱，冗余内容较多，由复杂到简单（不按顺序学习）
2.有配套练习题和解答（这是缺点）
3、如果你无法回答常庚哲和史继淮心中的疑问，你可以在这里找到答案。
谢慧敏数学分析练习课程讲义
• 这是一套真正的数学分析练习。 吉米多维奇只能称其为一套微积分练习。
• 本书包含许多其他书中没有的有趣结果
• 许多问题都有参考文献，例如《美国数学月刊》
• 如果实在解决不了参考题，书后有提示。
• 不需要看与电源系统相关的东西
• 不要只回答问题，文中的各种讨论更有价值
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