数学家华罗庚曾说过，当数字缺乏形状时，直觉就很少；当形状很少时，就很难理解。 这句话深刻地揭示了数字与形状的辩证关系以及实用结合的重要性。
数形结合思想是通过数形之间的对应和相互转化来解决问题的思维方法。
它包括两个方面。 一是用代数方法解决几何问题。
优点是可以用计算代替证明，从而大大减少工作量。
例如，中学学习的解析几何，通过建立平面直角坐标系，建立点与有序实数对（a，b）的对应关系，然后用方程表达几何图形。 这就是几何问题的代数化。
一是利用几何直觉来帮助解决代数问题。
例如，我们在中学学习函数知识、解决函数问题时，经常会使用函数的图像来辅助理解。 这是利用几何直觉来帮助解决代数问题。
不仅如此，比如在概率统计中，还涉及到大量的图表，这是数字与形状结合的另一种应用。
可以说，数字与形状相结合的思想是中学数学学习中非常重要的思维方式。 解决大量高中数学问题需要运用数字和形状相结合的思想。
数学思维不仅仅存在于中学。 数字和形状相结合的思想在小学数学学习中很常见，也被广泛应用。
首先，利用图形的直观性帮助学生理解、掌握知识、解决问题，如线段图；
二是小学中数轴和平面直角坐标系的渗透，如数轴、位置、正比例图和反比例图等，让学生了解代数与几何的联系；
第三，统计图表本身和几何概念模型都是数与形相结合思想的体现；
四是用代数方法解决几何问题，如角度、周长、面积和体积的计算。
这里我们可以举几个例子。
（本文部分图片来自之前的文章，当时还在使用人民教育出版社的旧版小学数学教材，所以题图并没有更换。由于篇幅比较紧时间长了，难免有些插图还是旧版本，在此表示遗憾。）
例如，人民教育出版社小学二年级数学教材中关于100以内加法的第二部分，采用算术芯片来显示加法规则，更加直观。
又如人民教育出版社出版的小学三年级数学教材第五单元中的线段图。
线段图是小学数学中数字与形状结合思想的重要体现。
线段图可以直观地反映数量关系，因此是典型的用形状来辅助数字的。
这里我们不仅要能够用线段图来表示数量关系，还要能够根据线段图来识别数量关系。
在本书的第七单元“长方形和正方形”中，我们开始接触周长，这意味着我们开始用数量来描述几何图形的特征。
这就是所谓的用数字来解释形状。
本卷数字与形状结合的核心表达主要在最后两个单元——分数的初步认识和集合。
与孩子们之前学过的自然数相比，分数相对抽象。 教材运用大量几何图形——饼图、线段图等直观手段帮助学生解决分数概念的理解和分数的比较问题。 ，分数加法和减法等问题。
类似的方法可以用于后续的分数问题，例如常见分数，或比较具有不同分母的分数。
小学五年级数学教材第一册中，介绍了坐标的初步想法。
直接将点对应于有序实数对。
这是典型的、最基本的几何图形代数。
虽然孩子年龄逐渐增大，但高小数学教材中数字与形状相结合的思想越来越明显，涉及的内容也越来越深入。
例如，六年级上册第八单元中的数学广角——数字与形状，就是专门针对数字与形状的结合而设计的。 由此可见，数字与形状相结合的思想在数学教科书作者的头脑中的重要性。
例如，通过图形解决一些序列求和问题。
下面的问题不仅是数字和形状的组合，还涉及极限。 也可以通过数字和形状的组合演示来很好地理解。
有些练习甚至涉及函数图。
另一个例子是使用数字和形状的组合来得出完整的正方形。
这些内容不能只是解释和驳回，而应该作为一种思维方式来解释，帮助孩子理解数字和形状结合的重要性。
六年级第二册比例第四单元中，用图像来描述比例关系，然后引导学生用图像解决问题。 这是典型的数字与形状的结合，也是初高中常用的方法。
类似的问题在本单元的《你知道吗》中也有所体现。 反比例函数图像的出现引导学生理解反比例图像可以用来表达数量关系，也可以用来解决问题。
此时我们就会发现，小学数学教材虽然受到了很多人的诟病，但确实将一些常用的数学思想融入到了教材中，而且编写者还是有一定的独创性的。
小学是这样，但是初中呢？
我们仍以人民教育出版社初中数学教材为例。
数轴出现在七年级第一卷的开头。
可以说，数轴是数字与形状相结合的好工具，而平面直角坐标系无非就是两个数轴。
这里数轴的作用主要是把代数问题几何化，也属于用形状来帮助数字的范畴。
后来学习绝对值的时候，也是从绝对值的几何意义开始。
不过，与这部分相关的题中，除了那些与教材思路一致的题外。
还有一些题表现出典型几何问题代数化的倾向，比如《新思维》中的这类题。
其实就是典型的笔画问题转化为数轴上的问题，进而转化为代数计算问题。
七年级第二册有一章专门讲数字和形状相结合的思想——平面直角坐标系，一种典型的研究几何问题的代数方法。
例如，点的平移表示为坐标的变化。
从内容上来说，并不深入。 它只是五年级数学教材的延伸。
一旦结合练习，难度就不同了。
但其基本思想是将几何问题代数化，将点的移动转化为坐标的变化。
总体来说，七年级上册、下册和八年级上册关于数字和形状结合的内容很少。 它要么是纯代数内容，要么是纯平面几何内容。
直到八年级第二卷的主要功能中，数字和形状相结合的想法才脱颖而出并大放异彩。 可以说，数字与形状的结合是中学学习函数问题的最大法宝。
在函数概念部分，介绍了函数图像。
这里需要澄清一个概念：函数图像实际上是函数表示方法的一种，其地位与解析表达式相同。 正因为如此，函数图像的特征与解析表达式的特征之间存在着对应关系。
这就是在函数中运用数与形相结合的思想的理论基础——我们可以画出函数的解析表达式对应的图像，观察和研究图像的特征，进而得到函数的性质。 我们还可以将抽象的函数问题转化为具体的图像，帮助您找到想法并解决问题。
比如下图中，画出一次函数的图像后，你会发现图像从左向右上升，而由于图像是由无数个点组成的，所以点的坐标对应的是x和y，所以图像的上升特征一定对应于 x 和 y 之间存在一定的关系——随着 x 的增加，y 也增加。
这其实在高中函数里叫单调性，是函数的一个重要性质。 这不仅仅是单调性。 高中函数的许多属性可以通过图像来理解。
可以明确地说，初中函数教材的编写者非常注重数字与形状的结合。
几乎每个问题都需要画图。
这么说吧，至少人民教育出版社初中数学教材里的函数内容和高中函数在思维上没有什么区别。
这让我想知道为什么很多高中的孩子仍然没有主动使用数字和形状来解决问题的意识。 当他们看到问题时，不知道如何从图像入手？
这是什么？
我仔细思考了半天，是否是因为初中数学题中，虽然数学试卷中经常出现函数，但它们都是有图像的，而且更加几何化。
其实这些问题并没有过多考察函数本身。 他们以函数图像为背景，将几何图形放在函数图像上。 本质仍然是一个几何问题，类似于解析几何。
我感觉初中数学纯粹考察函数本身的题还不够多。
那么学生们没有意识到，甚至更少的几何函数问题也可以用图像来解决吗？
这只是我的猜测。 那么高中数学中用数字和形状的结合来解决函数问题是一种怎样的体验呢？
我们来看看高中数学。
数字和形状的组合在高中数学中的首次出现是在集合关系中使用维恩图。
事实上，用数轴来表示集合运算也是数字与形状结合的一种体现。
在不等式的证明中，采用了几何方法——弦图。 在基本不等式的证明中，用到了圆的相关知识。 这是数字和形状结合的一个非常有趣的应用。
但这个内容只是开胃菜。 我们来看看对数形组合在函数中的应用。
这就是函数单调性的引入。 我们很容易看出课本的处理思路：画函数图像，函数可视化——观察图像，找到特征——对特征进行代数化。
这是典型的数字与形状相结合的思想。
例如，让我们看看下面的问题。
问题（1）意味着一个变量的二次方程没有负根。 求m的取值范围。
方法有很多，但如果用二次函数图像来求解会更容易。 抛开空集的情况和与x轴相切的情况，我们直接画图。
显然，这个二次函数的对称轴是固定的：x=1。 这时，函数图像一定与右侧有交集。
观察到图像与y轴的交点需要在x轴上方，因此常数项2m+4可以大于等于0。
数字和形状相结合的好处是我们可以根据题意画出图像，然后观察图像的特征。 这时候观察图像寻找特征显然比你想象的要方便。 找到特征后，然后对特征进行代数化——只需列出不等式或方程列表即可。
当然，不仅仅是函数和方程，很多问题都可以使用数字和形状的组合，比如下面的问题。
这是一个充分必要条件的问题，与不平等有关。
我们如何将数字和形状结合起来？
比如我可以把满足两个条件的x和y当作坐标，然后它们对应于平面上的点。 所有满足条件的x和y都应该对应于由点组成的平面区域。
将这个问题转化为平面面积之间的关系。
又如二次方程根的分布问题，这是典型的数与形的结合。 可以通过将二次函数图像转换为x轴的交点来求解。 这可以说是一个固定的套路，甚至还总结出了几种固定的情况。
以上基本上都是以形补数，那么以数补形又体现在哪里呢？
当然有两种几何——解析几何和立体几何。
解析几何的基本思想是将图形置于坐标系中，用方程表示图形，通过研究方程来研究图形。
这个怎么样？
是不是看起来特别眼熟？ 是不是和初中的一些题很相似？ 当然，也存在一些差异。
至于立体几何，引入空间向量后，原来所有的综合证明基本上都转化为代数计算了！
这是典型的以数补形的思想。
相比于前面提到的数字与形状的结合在函数等方面的应用是战术性的，那么解析几何和空间向量的应用则是战略性的和思想性的。
将几何问题直接转化为代数问题，而不是用代数作为辅助。
尤其是空间向量在立体几何中的运用之后，可以说学生可以摆脱原来的几何证明，直达本质。
虽然这让我的老本领无法发挥，但客观地说，这是大势所趋。
新的想法需要新的工具支持，而这个工具就是向量。
由于向量考虑了大小和方向，以及代数和几何属性，因此它们是连接数字和形状的天然工具。 早年刚进入高中数学教材时，题目难度比较低，但经过一段时间的研究，向量题开始变得更有特色，难度也逐渐提高。 这是一个潜力巨大的话题。
也是数字与形状相结合的思想的体现。
通过这篇文章，你可以发现，数字与形状相结合的思想可以说贯穿了小学数学学习的开始，而且随着往上走，它也变得越来越重要。 它不仅是一种解决问题的方法和思路，更是一种思想和策略。 通过将数字与它们相结合，相互补充、相互印证。 一方面诞生了很多新知识，另一方面也提供了思考和解决问题的渠道。
数字与形状相结合的思想的培养应该包含在我们父母的视野中。
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